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Niveau première
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limites - trigonométrie

Posté par
sifo26
24-02-16 à 22:26

bonsoir tout le monde j'ai du mal à touver cette ... lim x tend vers 0   (sinx -x) /x^3
je sollicite votre aide et merci d'avance !

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : limites - trigonométrie 24-02-16 à 22:30

Bonjour,

Tu as vu la règle de l'Hôpital ? Dans ce cas, il suffit de l'appliquer deux ou trois fois.

Nicolas

Posté par
mdr_non
re : limites - trigonométrie 24-02-16 à 23:28

bonsoir : )

Sinon, il existe plusieurs autres méthodes plus ou moins accessibles à ce niveau.

L'une d'elle exploite la dérivabilité de la fonction sinus en 0 et fait usage d'une identité trigonométrique.

***

On démontre tout d'abord que \boxed{\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to0}\frac{\sin x - \sin 0}{x - 0} = \sin'0 = \cos 0 = 1}.
Cette limite traduit le fait qu'on sait que la fonction sinus est dérivable en 0 et son nombre dérivé en 0 est cos(0) = 1.

Supposons ensuite que la limite cherchée existe et est finie.
Supposons également connue l'identité \boxed{\forall x \in \mathbb{R}, \sin(3x) = 3\sin x - 4\sin^3 x}.

Posons \boxed{L = \lim_{x\to0} \frac{\sin x - x}{x^3}} et effectuons le changement de variable suivant X = \frac{x}{3}.

Nous avons alors x = 3X et lorsque x \to 0, X \to 0.

De plus \large \frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{\sin(3X) - 3X}{27X^3} = \frac{3\sin X - 4\sin^3 X - 3X}{27X^3} = \frac{3\left(\sin X - X\right)}{27X^3} - \frac{4}{27}\left(\frac{\sin X}{X}\right)^3.

D'où, par passage à la limite : \large \lim_{x\to0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{X\to0}\frac{\sin(3X) - 3X}{27X^3} = \frac{1}{9}\left[\lim_{X\to0}\frac{\sin X - X}{X^3}\right] - \frac{4}{27}\left[\lim_{X\to0}\left(\frac{\sin X}{X}\right)^3\right],

puis \boxed{L = \frac{1}{9}L - \frac{4}{27}} et enfin \large \boxed{\lim_{x\to0} \frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}}.

Posté par
sifo26
re : limites - trigonométrie 25-02-16 à 13:40

mdr_non merci beaucoup !

Posté par
mdr_non
re : limites - trigonométrie 25-02-16 à 17:25

Je t'en prie : ) bonne continuation : )

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : limites - trigonométrie 25-02-16 à 22:39

Whaou... mdr_non, ta méthode est super-astucieuse ! Merci pour le partage.

Posté par
mdr_non
re : limites - trigonométrie 26-02-16 à 00:04

: )

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : limites - trigonométrie 30-05-23 à 22:25

Sept ans plus tard... ^_^
La démonstration ci-dessus suppose l'existence de la limite.
L'une des difficultés reste de montrer que cette limite existe.
J'ai cherché et suis tombé dans des impasses.
Après avoir fureté sur Internet, je suis tombé sur les démonstrations suivantes :
1)
2)
utilisant
... assez impressionnantes.

Posté par
lake
re : limites - trigonométrie 30-05-23 à 23:15

Ah ! Bonsoir Nicolas et heureux de te revoir !
J'avais un autre pseudo mais peu importe.
Je crois me souvenir qu'il y avait ici même des fiches qui recensaient des calculs de limites trigonométriques  à la mdr_non.
Elles passaient allègrement sur l'existence des limites en question.  
Suite à un signalement, elles ont été supprimées.
Bonne soirée à toi !

Posté par
alb12
re : limites - trigonométrie 31-05-23 à 11:20

salut,
une piste élémentaire.

 \\ \text{si }0\leqslant x\leqslant1 \text{ alors }0\leqslant\sin x-x+\dfrac{x^3}{6}\leqslant x^4
 \\

Posté par
malou Webmaster
re : limites - trigonométrie 31-05-23 à 11:31

hello, bonjour à tous
ben non, elle existe toujours cette fiche ...mais je peux la désactiver, ou ajouter un message en début de fiche ou ...tout ce que vous voulez ou presque

Posté par
alb12
re : limites - trigonométrie 31-05-23 à 11:39

il suffit peut-être de signaler au lecteur que la demo suppose l'existence de la limite et est donc imparfaite.

Posté par
tetras
re : limites - trigonométrie 01-06-23 à 18:35

bonjour les anciens et les nouveaux
pourquoi a t'on lim en 0 de sinx/x=sin'0 (message du 24 02 16  23h28)

autre question
y a t'il une fonction permettant de savoir comment saisir le texte en latex qui s'affiche à l'écran
une lim en 0 par exemple
merci

Posté par
mathafou Moderateur
re : limites - trigonométrie 01-06-23 à 18:51

Bonjour,
le premier encadré de mdr_non répond à ta question : on y "reconnait" la définition de la dérivée.

pour le LaTeX, le mieux est l'éditeur LaTeX de l'ile :
limites - trigonométrie
limites - trigonométrie

(il suffit de cliquer sur les menus et de remplir les champs, avec quelques notions de base de LaTeX)
voir aussi le tuto [lien]

sinon le code que l'on tape soi même (si on parle le LaTeX) est à mettre entre balises tex (l'autre bouton LTX) pour qu'il soit traduit à l'affichage (Aperçu obligatoire, et poster)

Posté par
tetras
re : limites - trigonométrie 01-06-23 à 19:33

merci
l'éditeur ne me permet pas de lire ce qu'a écrit une autre personne en latex?

Posté par
mathafou Moderateur
re : limites - trigonométrie 01-06-23 à 22:54

copier coller ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : limites - trigonométrie 02-06-23 à 07:45

Bonjour,
Ou à partir du code source du message qu'on peut faire apparaître avec le bouton le plus à gauche de la date.

Posté par
mathafou Moderateur
re : limites - trigonométrie 02-06-23 à 10:46

c'est effectivement le plus pratique pour juste lire le code.

limites - trigonométrie
au besoin autoriser ce bouton (case à cocher dans les préférences sur son profil ...)

Posté par
carpediem
re : limites - trigonométrie 04-06-23 à 09:59

salut

quand je vois le niveau première et en 2016 la question qui se pose et c'est un challenge est : peut-on y arriver avec les deux seuls résultats suivants :

\lim_{x \to 0} \dfrac {\sin x} x = 1 ou encore \sin x \underset{0} \approx x
et
\lim_{x \to 0}\dfrac {\cos x - 1}{x^2} = -\dfrac 1 2 ou encore \cos x - 1 \underset{0} \approx - \dfrac 1 2 x^2

le premier résultat est un classique de première

le deuxième résultat se déduit du premier (il me semble) et on le trouve de temps en temps (plus rarement maintenant) dans quelques exo de bouquins (dans les derniers il me semble)

et bien sûr la connaissance des formules trigo est un prérequis nécessaire

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : limites - trigonométrie 04-06-23 à 15:11

Bonjour,
Ci-dessous, une piste pour une démonstration que je trouve sympa de la limite avec cosinus.
Elle n'utilise que la formule fondamentale de la trigo, et quand même la limite de \; \dfrac{sin(x)}{x} .

Elle s'inspire de la méthode de la quantité conjuguée :
En multipliant numérateur et dénominateur de \; \dfrac {\cos x - 1}{x^2} \; par \; \cos x+ 1 \; on fait apparaître du sinus.

Posté par
carpediem
re : limites - trigonométrie 04-06-23 à 15:21

merci Sylvieg mais on obtient pas -1/2 ...

mais il me semble que voila  en posant x = 2y

\dfrac {\cos x - 1} {x^2} = \dfrac {2\cos^2 y - 2} {4y^2} = - \dfrac 1 2 \left(\dfrac {\sin y}y \right)^2

Posté par
carpediem
re : limites - trigonométrie 04-06-23 à 15:22

ha mais oui tu as raison aussi !! (j'avais oublié le numérateur)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : limites - trigonométrie 04-06-23 à 15:45

Bon, moi je cale pour démontrer l'inégalité de ce message :

alb12 @ 31-05-2023 à 11:20

salut,
une piste élémentaire.

 \\ \text{si }0\leqslant x\leqslant1 \text{ alors }0\leqslant\sin x-x+\dfrac{x^3}{6}\leqslant x^4
 \\

Posté par
carpediem
re : limites - trigonométrie 04-06-23 à 16:16

ouais moi aussi

je n'ai pas eu le courage car je ne vois guère que dériver puis redériver ..

la positivité est aisée mais la majoration par x^4 ... (enfin en restant au lycée)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : limites - trigonométrie 05-06-23 à 13:45

Finalement, ça marche en allant jusqu'à la dérivée 4ième.
Pour la positivité, je n'ai pas trouvé ça aisé et suis allée jusque la dérivée 3ème.

Posté par
alb12
re : limites - trigonométrie 05-06-23 à 14:07

oui c'est long, fastidieux mais très facile

Posté par
carpediem
re : limites - trigonométrie 05-06-23 à 17:06

Sylvieg : quand j'ai dit "aisé" c'est en dérivant tout de même trois fois !! mais le signe et les variations sont relativement immédiats à chaque fois.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : limites - trigonométrie 05-06-23 à 17:19

Avec une dérivée supplémentaire, la majoration par x4 n'est pas vraiment moins "aisée"

Posté par
carpediem
re : limites - trigonométrie 05-06-23 à 18:26

alors tant mieux car je m'étais arrêté qu'à la positivité



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