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loi uniforme
Bonjour,
Voici un exercice sur le loi uniforme qui me pose des problèmes :
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Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur l'intervalle [0,a].
1) Calculer la densité et l'espérance mathématique de la variable aléatoire Y=X².
2) En déduire l'espérance mathématique de X²+(a-X)²
3) Sur une route droite, une personne A se place au hasard entre deux bornes O et B distantes de 1 km. Une fois qu'elle s'est placée, une autre personne C se place au hasard entre O et A. On note X la distance entre O et A et Z la somme des carrés des distances entre O et C, entre C et A, entre A et B :
O C A B
_|________|______________|__________________|
Z=OC²+CA²+AB²
Utiliser la question 2 pour déterminer l'espérance conditionnelle E[Z|X=x]
4) En désuire E(Z)
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Pour la question 1, vu que je connais l'intervalle sur lequel est défini cette loi uniforme, je peux trouver la densité et l'espérance de X.
Mais pour X² , j'ai dans l'idée de faire un changement de variable, mais je n'y arrive pas...à moins que ce ne soit la loi du Khi-Deux ?
Merci de votre aide.
Je trouve :
E(X)=a/2
V(X)=a²/12
Et comment avez-vous trouvé pour X² ? Pouvez-vous me donner une petite explication ? 
Non, non, pas la loi du Khi-Deux, c'est pour des lois normales, pas uniformes.
Comment faire pour résoudre cet exercice que je ne comprends pas ? une petite idée en cette fin d'année ?
Merci d'avance
X est de loi uniforme sur [0,a] : sa densité est la fonction constante f(x)=1/a définie sur [0,a].
Si f est la densité d'une v.a. X, alors pour toute fonction g, on a
E[g(X)]=
g(x)f(x)dx. Tu peux appliquer cette formule avec g(x)=x² pour trouver l'espérance de X².
As-tu vu les fonctions de répartitions ?
La fonction de répartition de X est la fonction F(t)=0 si t<0 ou si t>a et pour t dans [0,a] : .
X² prend ses valeurs dans [0,a²]. La fonction de répartition de X² est la fonction G(t)=0 si t<0 ou si t>a² et pour t dans [0,a²] :
La densité est la dérivée de la fonction de répartition, donc la densité de X² est
On peut alors retrouver E[X²] :
2) Si X est de loi uniforme sur [0,a], alors a-X aussi. Donc (a-X)² a même loi que X², donc même espérance. L'espérance d'une somme est la somme des espérances donc
Merci de m'aider ! 
J'ai réussi à calculer E(X²) avec ta méthode.
Pour la fonction de répartition de X : pour moi, elle serait égale à 1 si t>a (par définition ?)
Pourquoi peut-on dire que a-X suit aussi une loi uniforme ?
Ben
- tu peux le démontrer en déterminant la fonction de répartition de a-X
- ou alors tu peux dire que sur un axe gradué, a-X c'est le symétrique de X par rapport au point d'abscisse a/2, le milieu de l'intervalle [0,a], et que la loi uniforme est symétrique
- ou alors tu peux dire que -X est de loi uniforme sur [-a,0], tu en déduis que a-X est uniforme sur [0,a] en remarquant que a-X=-X+a et que si U est une loi uniforme sur [s,t], alors U+a est une loi uniforme sur [s+a, t+a], ce qui sont des faits tout de même intuitifs.
Mais c'est bien sûûûûûrrr ! 
Je n'y ai pas pensé !
Merci
Et aurais-tu un tuyau pour la question 3, stp ? 
Ouaip j'ai un tuyau. Mais je préfère écrire E[Z|X=a]. Associe le segment [OB] à l'intervalle [0,1]. L'abscisse du point A est la valeur de X, variable aléatoire uniforme sur [0,1]. Ici on raisonne quand X=a. L'abscisse du point C est alors une variable aléatoire de loi uniforme sur [0,a]....
... donc conditionnellement à X=a, la loi de Z est la loi de W²+(a-W)²+(1-a)², où W est une variable aléatoire de loi uniforme sur [0,a]....
ho ho, je me dirige vers la mauvaise direction et je vais étudier ta solution de plus près !
Est-ce que je peux écrire ceci pour l'espérance conditionnelle (sans passer par une intégrale avec la densité de Z|X=a) ?
E(Z|X=a) = E(W²)+E((a-W)²)+E((1-a)²)
= (a²/3)+(a²/3)+(1-a)²
= (5a²-6a+3)/3
yessss !
d'où E(Z)=5/9 avec X suivant une loi uniforme [0;1] donc E(X)=1/2 et E(X²)=1²/3
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