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matrices orthogonales particulières (II)

Posté par
perroquet 23-01-19 à 00:50

Ma question provient de ce topic     Matrice orthogonale.

Déterminer les matrices orthogonales A de M_3(\mathbb R) telles que la somme des coefficients de A est égale à 3.

Je connais la réponse à la question et je sais la démontrer.
N'oubliez pas de blanker vos réponses.

NB: on sait déjà que la somme des coefficients d'une matrice orthogonale A de  M_3(\mathbb R) est égale à 3 si et seulement si    A \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}     ou    A \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} =-\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} . Il n'est pas utile de redémontrer ce résultat.

Posté par
jsvdbre : matrices orthogonales particulières (II) 23-01-19 à 21:45

Bonsoir perroquet.

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Posté par
perroquetre : matrices orthogonales particulières (II) 23-01-19 à 22:25

jsvdb a remarqué une erreur dans l'énoncé que j'ai donné.

Citation :

Déterminer les matrices orthogonales A de  M_3(\mathbb R) telles que la somme des coefficients de A est égale à 3.

Le bon énoncé est le suivant:
Déterminer les matrices orthogonales A de  M_3(\mathbb R) telles que la valeur absolue  de la somme des coefficients de A est égale à 3.

jsvdb a aussi relevé une faute dans mon indication:
Citation :

NB: on sait déjà que la somme des coefficients d'une matrice orthogonale A de  M_3(\mathbb R) est égale à 3 si et seulement si    A \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}     ou    A \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} =-\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} . Il n'est pas utile de redémontrer ce résultat.

Voici une indication correcte:
NB: on sait déjà que la valeur absolue de la somme des coefficients d'une matrice orthogonale A de  M_3(\mathbb R) est égale à 3 si et seulement si    A \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}     ou    A \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} =-\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} . Il n'est pas utile de redémontrer ce résultat.


Enfin, jsvdb a déterminé correctement toutes les matrices A othogonales de M_3(\mathbb R) telles que la somme des valeurs absolues des coefficients de A est égale à 3. Les idées développées dans sa solution ne permettent pas de répondre à la question que j'ai proposée.

Posté par
luzakre : matrices orthogonales particulières (II) 24-01-19 à 09:24

Bonjour jsvdb
Objection, votre honneur !

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Posté par
LittleFoxre : matrices orthogonales particulières (II) 24-01-19 à 09:58

Il y a une confusion entre la somme des valeurs absolues et la valeur absolue de la somme

Posté par
luzakre : matrices orthogonales particulières (II) 24-01-19 à 11:53

Je prends bien l'énoncé avec "valeur absolue de la somme" et je cherche une solution plus générale !
Pour le moment, une solution partielle :

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.................................
Il me semble (merci à perroquet de confirmer) que pour n=3 on obtient toutes les solutions avec ces produits et \dfrac{\pm1}3(2J-3I_3) ou \pm I_3.

Posté par
perroquetre : matrices orthogonales particulières (II) 24-01-19 à 14:15

Bonjour, luzak

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Posté par
luzakre : matrices orthogonales particulières (II) 24-01-19 à 17:07

Bonjour perroquet !

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Posté par
perroquetre : matrices orthogonales particulières (II) 24-01-19 à 21:41

@luzak

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Posté par
carpediemre : matrices orthogonales particulières (II) 26-01-19 à 13:39

salut

j'ai suivi ... et je voudrais vous soumettre une idée ... un peu différente parce que je trouve quand même quelques incohérences (de signe mais que je pense on peut résoudre) ... donc si vous pouviez m'aider ...

je ne blanke pas puisque luzak a résolu le pb et que perroquet l'a validé !!!


par définition d'une matrice orthogonale M je peux toujours choisir u = (a, b, c) appartenant à la sphère unité ... comme première ligne de M

ensuite le Nota Bene de perroquet me conduit tout d'abord à dire qu'on n'a pas que a + b + c = 1 mais |a + b + c| = 1

donc on a

a^2 + b^2 + c^2 = 1    (1) \\ |a + b + c| = 1      (2) \\ ab + bc + ca = 0    (3)

et je pose x = a + b + c

tout d'abord ces trois conditions définissent M avec la forme que donne luzak (en prenant x = 1
mais continue pour en déduire une équation de degré 3

c'est là que je voudrais proposer peut-être une autre caractérisation ...

puisque les lignes (et colonnes de M forment des vecteurs unitaires et orthogonaux alors d'après (3) j'ai pris v = (b, c, a) pour deuxième ligne


et ensuite ben pour avoir un troisième vecteur orthonormal j'ai pris le produit vectoriel tout simplement w = u \wedge v = (ba - c^2, cb - a^2, ac - b^2)  ou son opposé ...

la définition du produit scalaire donne bien que ||w|| = 1

et le calcul avec x = 1 marche bien (je ne l'ai pas vérifié avec x = -1)...


un premier pb apparaît (enfin avec la matrice de luzak) quand je pose

c = ba - c^2 \\ a = cb - a^2 \\ b = ac - b^2

et que je somme ces trois égalités x = a + b + c = -a^2 - b^2 - c^2 = -1

mais bon on peut s'en sortir suivant que x = -1 ou que x = 1  et qu'on prenne en fait l'opposé de w

la somme s des coefficients de la matrice M est alors s = 2a + 2b + 2c + ba - c^2 + bc - a^2 + ac - b^2 = 2a + 2b + 2c - a^2 - b^2 - c^2 = 3 - (1 - a)^2 - (1 - b)^2 - (1 - c)^2

si on veut alors que |s| = 3 on arrive alors à la conclusion que (a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 = 6

ou en prenant éventuellement -w à la place de w (a + 1)^2 + (b + 1)^2 + (c + 1)^2 = 6

ces deux sphères coupent bien la sphère unité


pour conclure (en généralisant et extrapolant ... peut-être à tord)

pour avoir une matrice M dont la valeur absolue de la somme des coefficients est 3 :

la première ligne est donnée par un vecteur u = (a, b, c) appartenant à l'intersection des sphères S(O, 1) et S((1, 1, 1), 6) ou S((-1, -1, -1), 6)

on choisit v dans l'intersection de la sphère S(O, 1) et du plan ax + by + cz = 0 (c'est la condition (3))

on prend alors w = u ^v (ou son opposé)

sachant que la valeur absolue de la somme des coefficients de chaque vecteur est 1


donc en gros je voudrais savoir si les deux sphères que j'introduis ont quelque chose à voir avec le pb posé ...

merci de votre attention

Posté par
luzakre : matrices orthogonales particulières (II) 26-01-19 à 14:16

Bonjour et d'accord pour l'intersection d'une sphère et d'un plan.

Mais je pense avoir montré (et il semble que ce soit aussi le cas de perroquet) que le choix de la deuxième ligne est nécessairement une permutation de la première.  Autrement dit on peut proposer comme deuxième ligne quelque chose de plus précis que "on choisit... dans l'intersection".

Mon argument c'est qu'après choix d'une première ligne, on a déjà deux solutions pour la deuxième ligne : (b,c,a),\;(c,b,a) et l'examen du nombre de points d'intersection d'un plan (d'équation ax+by+cz=0) et d'un cercle (intersection de la sphère unité et du plan x+y+z=1) fait que la deuxième ligne est forcément b\;c\;a ou a\;b\;c...

...........................
Je pense que cela peut se généraliser en dimension n.
En partant d'une première ligne x_1\;x_2\;\hdots\;x_n vérifiant à la fois \sum x_k=1,\;\sum x_k^2=1 on a aussi \sum_{p<q}x_px_q=0.
Ainsi on dispose de (n-1) solutions pour la deuxième ligne, du genre x_p\;x_{p+1}\;\hdots\;x_n\;x_1\;\hdots\;x_{p-1} et je pense qu'on a ainsi toutes les possibilités (si A_p=(x_p,\;x_{p+1},\;\hdots\;x_n,\;x_1,\;\hdots,\;x_{p-1} les vecteurs  \vec{OA_p} sont normés et forment une famille libre).
Il y a donc n points dans l'intersection voulue puisque ces points sont aussi dans le plan d'équation \sum x_k=1.

.................................
Pour ce qui est de ta remarque concernant le problème de valeur absolue, je te signale que ma façon de procéder règle le problème.

Les matrices réalisant une somme égale au maximum vérifient AJ=\lambda J,\;JA=\mu J et j'ai démontré que nécessairement \lambda=\mu.
On peut donc se contenter de chercher les matrices dont la somme des coefficients en ligne ou colonne vaut 1, le produit par -1 donne les autres matrices.

Posté par
carpediemre : matrices orthogonales particulières (II) 26-01-19 à 14:53

ok merci

donc pour synthétiser :

le choix de  u = (a, b, c) conduit à v = (b, c, a) ou v = (c, a, b) avec les conditions   a^2 + b^2 + c^2 = 1    (1) \\ a + b + c = 1        (2) \\ ab + bc + ca = 0    (3)

à permutation près on choisit v = (b, c, a)

ensuite en prenant le cheminement du produit vectoriel et la question du pb alors ta condition

Citation :
On a tous les triplets en se donnant un réel u=abc et en résolvant X^3-X^2-u=0 (il y a une condition sur u pour avoir trois racines réelles).
est-elle équivalente à choisir (a, b, c)
Citation :
appartenant aussi à l'une des sphères S((1, 1, 1), 6) ou S((-1, -1, -1), 6)
à produit de (a, b,  c) par -1 près

en gros est-ce que ton triplet vérifie (a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 = 6 $ ou (a + 1)^2 + (b + 1)^2 + (c + 1)^2 = 6  ?

Posté par
perroquetre : matrices orthogonales particulières (II) 26-01-19 à 22:56

Bonjour,  carpediem.

Si     \left\{ \begin{matrix}a+b+c= 1\\ a^2+b^2+c^2=1\end{matrix}\right\}   alors     \left\{ \begin{matrix}a^2+b^2+c^2=1 \\ (a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2 = a^2+b^2+c^2 +2(a+b+c)+3=6 \end{matrix}\right\}

Réciproquement:
Si    \left\{ \begin{matrix} a^2+b^2+c^2=1 \\ (a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2=6 \end{matrix} \right \}    alors   \left\{ \begin{matrix} a+b+c = \dfrac{ (a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2-3-(a+b+c)^2}{2}=1\\ a^2+b^2+c^2=1 \end{matrix} \right\}

Donc, l'intersection de la sphère S((0,0,0),1) et du plan d'équation x+y+z=1 est égale à l'intersection des deux sphères S((0,0,0),1) et S((-1,-1,-1),6).

De même, l'intersection de la sphère S((0,0,0),1) et du plan d'équation x+y+z=-1 est égale à l'intersection des deux sphères S((0,0,0),1) et S((1,1,1),6).


En fait, luzak et moi-même n'utilisons pas cette caractérisation géométrique. Nous préférons remarquer que:
\begin{matrix} a+b+c=1 \\ a^2+b^2+c^2=1 \end{matrix} \right\} \Longleftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a+b+c= 1\\  ab+bc+ca = 0 \end{matrix}

Cela permet de considérer  a,b,c comme les racines d'un polynôme X^3-X^2-abc (donc dépendant d'un unique paramètre u=abc).

On aurait aussi pu écrire une représentation paramétrique du cercle et obtenir a,b,c en fonction d'un seul paramètre; c'est l'idée de ma deuxième solution, mais cette solution n'utilise pas le cercle.

A partir de là, luzak obtient les deux autres lignes grâce à un raisonnement géométrique. En ce qui me concerne, j'ai déterminé par le calcul la première colonne puis les 4 coefficients restants.

Plus de détails sur mes solutions dans des posts ultérieurs.

Posté par
luzakre : matrices orthogonales particulières (II) 26-01-19 à 23:41

Bonsoir !
Merci à perroquet de m'éviter d'avoir à élucider le problème des deux sphères !

Je reviens sur l'idée de carpediem d'utiliser un produit vectoriel pour la troisième ligne de la matrice.
Il est exact quen opérant ainsi on obtient une matrice orthogonale mais qui ne vérifie plus la propriété pour la somme des coefficients.

Aussi bien perroquet que moi-même avons montré que la somme de chaque ligne doit être la même et valoir \pm1.

En prenant une première ligne u=(a,b,c) et une deuxième ligne v=(b,c,a) le choix w=u\wedge v pour la troisième ligne conduit à une somme opposée à celle des deux premières et il est donc nécessaire de choisir -w pour la troisième ligne.

Avec des arguments géométriques d'intersection de cercle (lui-même intersection d'une sphère et d'un plan) et de plan je dis qu'il y a 3 solutions, à savoir les permutations circulaires de la première ligne.

Avec le choix  carpediem de -w=v\wedge u pour la troisième ligne, on peut montrer qu'on a bien -w=(c,a,b).
En effet, par produit vectoriel, -w=(c^2-ab,a^2-bc,b^2-ca) et ce vecteur -w=(x,y,z) est de norme 1 donc x+y+z=x^2+y^2+z^2=1 puis xy+yz+zx=0.
On en déduit xyz+z^2(x+y)=0=xyz+z^2(1-z) soit z^3-z^2-xyz=0 et il reste à montrer que xyz=abc.
Or, puisque a,b,c sont racines de X^3-X^2-abc=0 on obtient

xyz=\dfrac1{abc}(c^3-abc)(a^3-abc)(b^3-abc)=\dfrac{c^2a^2b^2}{abc}=abc

Posté par
carpediemre : matrices orthogonales particulières (II) 27-01-19 à 09:51

merci à tous les deux

en fait je n'avais pas fait attention que parmi les trois relations "de base" l'une était conséquence des deux autres

et la démo de l'équivalence avec les deux sphères était en fait toute bête !!! (honte à moi !!)


oui il y avait ces pb de signe c'est pourquoi je disais de prendre le produit vectoriel ou son opposé

et merci d'avoir finalisé le calcul et montré qu'on retombe bien sur ton équation du second degré

merci à tous les deux

Posté par
luzakre : matrices orthogonales particulières (II) 27-01-19 à 10:39

Pour n=3 on peut dire aussi :
Soit a\in[-1,1]. On cherche une première ligne. a\;b\;c
si a>\dfrac13 on prend
            b=\dfrac{1-a+\sqrt{(1-a)(1+3a)}}2,\;\;c=\dfrac{1-a-\sqrt{(1-a)(1+3a)}}2
            et on a une solution a+b+c=1=a^2+b^2+c^2
sinon si a<\dfrac{-1}3 on prend
                  b=\dfrac{-1-a+\sqrt{(1+a)(1-3a)}}2,\;\;c=\dfrac{-1-a-\sqrt{(1+a)(1-3a)}}2
                  et on a une solution -(a+b+c)=1=a^2+b^2+c^2
             sinon on a deux solutions
                   b=\dfrac{1-a+\sqrt{(1-a)(1+3a)}}2,\;\;c=\dfrac{1-a-\sqrt{(1-a)(1+3a)}}2
                    avec a+b+c=1=a^2+b^2+c^2
            ou
                  b=\dfrac{-1-a+\sqrt{(1+a)(1-3a)}}2,\;\;c=\dfrac{-1-a-\sqrt{(1+a)(1-3a)}}2
                   avec -(a+b+c)=1=a^2+b^2+c^2

Bien évidemment on peut échanger b,c. Les autres lignes s'obtiennent par permutation circulaire.

Il n'y a pas de solution pour a=b=c !!!
et pour a=b on a la première ligne 0\;0\;1 ou \dfrac23\;\dfrac23\;\dfrac{-1}3


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