Ma question provient de ce topic Matrice orthogonale.
Déterminer les matrices orthogonales de telles que la somme des coefficients de est égale à 3.
Je connais la réponse à la question et je sais la démontrer.
N'oubliez pas de blanker vos réponses.
NB: on sait déjà que la somme des coefficients d'une matrice orthogonale de est égale à 3 si et seulement si ou . Il n'est pas utile de redémontrer ce résultat.
jsvdb a remarqué une erreur dans l'énoncé que j'ai donné.
Je prends bien l'énoncé avec "valeur absolue de la somme" et je cherche une solution plus générale !
Pour le moment, une solution partielle :
salut
j'ai suivi ... et je voudrais vous soumettre une idée ... un peu différente parce que je trouve quand même quelques incohérences (de signe mais que je pense on peut résoudre) ... donc si vous pouviez m'aider ...
je ne blanke pas puisque luzak a résolu le pb et que perroquet l'a validé !!!
par définition d'une matrice orthogonale M je peux toujours choisir u = (a, b, c) appartenant à la sphère unité ... comme première ligne de M
ensuite le Nota Bene de perroquet me conduit tout d'abord à dire qu'on n'a pas que a + b + c = 1 mais |a + b + c| = 1
donc on a
et je pose x = a + b + c
tout d'abord ces trois conditions définissent M avec la forme que donne luzak (en prenant x = 1
mais continue pour en déduire une équation de degré 3
c'est là que je voudrais proposer peut-être une autre caractérisation ...
puisque les lignes (et colonnes de M forment des vecteurs unitaires et orthogonaux alors d'après (3) j'ai pris v = (b, c, a) pour deuxième ligne
et ensuite ben pour avoir un troisième vecteur orthonormal j'ai pris le produit vectoriel tout simplement ou son opposé ...
la définition du produit scalaire donne bien que ||w|| = 1
et le calcul avec x = 1 marche bien (je ne l'ai pas vérifié avec x = -1)...
un premier pb apparaît (enfin avec la matrice de luzak) quand je pose
et que je somme ces trois égalités
mais bon on peut s'en sortir suivant que x = -1 ou que x = 1 et qu'on prenne en fait l'opposé de w
la somme s des coefficients de la matrice M est alors
si on veut alors que |s| = 3 on arrive alors à la conclusion que
ou en prenant éventuellement -w à la place de w
ces deux sphères coupent bien la sphère unité
pour conclure (en généralisant et extrapolant ... peut-être à tord)
pour avoir une matrice M dont la valeur absolue de la somme des coefficients est 3 :
la première ligne est donnée par un vecteur u = (a, b, c) appartenant à l'intersection des sphères S(O, 1) et S((1, 1, 1), 6) ou S((-1, -1, -1), 6)
on choisit v dans l'intersection de la sphère S(O, 1) et du plan ax + by + cz = 0 (c'est la condition (3))
on prend alors w = u ^v (ou son opposé)
sachant que la valeur absolue de la somme des coefficients de chaque vecteur est 1
donc en gros je voudrais savoir si les deux sphères que j'introduis ont quelque chose à voir avec le pb posé ...
merci de votre attention
Bonjour et d'accord pour l'intersection d'une sphère et d'un plan.
Mais je pense avoir montré (et il semble que ce soit aussi le cas de perroquet) que le choix de la deuxième ligne est nécessairement une permutation de la première. Autrement dit on peut proposer comme deuxième ligne quelque chose de plus précis que "on choisit... dans l'intersection".
Mon argument c'est qu'après choix d'une première ligne, on a déjà deux solutions pour la deuxième ligne : et l'examen du nombre de points d'intersection d'un plan (d'équation ) et d'un cercle (intersection de la sphère unité et du plan ) fait que la deuxième ligne est forcément ou ...
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Je pense que cela peut se généraliser en dimension .
En partant d'une première ligne vérifiant à la fois on a aussi .
Ainsi on dispose de solutions pour la deuxième ligne, du genre et je pense qu'on a ainsi toutes les possibilités (si les vecteurs sont normés et forment une famille libre).
Il y a donc points dans l'intersection voulue puisque ces points sont aussi dans le plan d'équation .
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Pour ce qui est de ta remarque concernant le problème de valeur absolue, je te signale que ma façon de procéder règle le problème.
Les matrices réalisant une somme égale au maximum vérifient et j'ai démontré que nécessairement .
On peut donc se contenter de chercher les matrices dont la somme des coefficients en ligne ou colonne vaut , le produit par donne les autres matrices.
ok merci
donc pour synthétiser :
le choix de u = (a, b, c) conduit à v = (b, c, a) ou v = (c, a, b) avec les conditions
à permutation près on choisit v = (b, c, a)
ensuite en prenant le cheminement du produit vectoriel et la question du pb alors ta condition
Bonjour, carpediem.
Si alors
Réciproquement:
Si alors
Donc, l'intersection de la sphère S((0,0,0),1) et du plan d'équation x+y+z=1 est égale à l'intersection des deux sphères S((0,0,0),1) et S((-1,-1,-1),6).
De même, l'intersection de la sphère S((0,0,0),1) et du plan d'équation x+y+z=-1 est égale à l'intersection des deux sphères S((0,0,0),1) et S((1,1,1),6).
En fait, luzak et moi-même n'utilisons pas cette caractérisation géométrique. Nous préférons remarquer que:
Cela permet de considérer comme les racines d'un polynôme (donc dépendant d'un unique paramètre ).
On aurait aussi pu écrire une représentation paramétrique du cercle et obtenir en fonction d'un seul paramètre; c'est l'idée de ma deuxième solution, mais cette solution n'utilise pas le cercle.
A partir de là, luzak obtient les deux autres lignes grâce à un raisonnement géométrique. En ce qui me concerne, j'ai déterminé par le calcul la première colonne puis les 4 coefficients restants.
Plus de détails sur mes solutions dans des posts ultérieurs.
Bonsoir !
Merci à perroquet de m'éviter d'avoir à élucider le problème des deux sphères !
Je reviens sur l'idée de carpediem d'utiliser un produit vectoriel pour la troisième ligne de la matrice.
Il est exact quen opérant ainsi on obtient une matrice orthogonale mais qui ne vérifie plus la propriété pour la somme des coefficients.
Aussi bien perroquet que moi-même avons montré que la somme de chaque ligne doit être la même et valoir .
En prenant une première ligne et une deuxième ligne le choix pour la troisième ligne conduit à une somme opposée à celle des deux premières et il est donc nécessaire de choisir pour la troisième ligne.
Avec des arguments géométriques d'intersection de cercle (lui-même intersection d'une sphère et d'un plan) et de plan je dis qu'il y a 3 solutions, à savoir les permutations circulaires de la première ligne.
Avec le choix carpediem de pour la troisième ligne, on peut montrer qu'on a bien .
En effet, par produit vectoriel, et ce vecteur est de norme 1 donc puis .
On en déduit soit et il reste à montrer que .
Or, puisque sont racines de on obtient
merci à tous les deux
en fait je n'avais pas fait attention que parmi les trois relations "de base" l'une était conséquence des deux autres
et la démo de l'équivalence avec les deux sphères était en fait toute bête !!! (honte à moi !!)
oui il y avait ces pb de signe c'est pourquoi je disais de prendre le produit vectoriel ou son opposé
et merci d'avoir finalisé le calcul et montré qu'on retombe bien sur ton équation du second degré
merci à tous les deux
Pour on peut dire aussi :
Soit . On cherche une première ligne.
si on prend
et on a une solution
sinon si on prend
et on a une solution
sinon on a deux solutions
avec
ou
avec
Bien évidemment on peut échanger . Les autres lignes s'obtiennent par permutation circulaire.
Il n'y a pas de solution pour !!!
et pour on a la première ligne ou
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