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Matrice orthogonale
Bonjour,
Comment montrer que la valeur absolue de la somme des coefficients d'une matrice orthogonale est toujours inférieure à n où n est la dimension de l'espace vectoriel.
Si on note A la matrice orthogonale,
Alors
tA * A = In (la transposée de A multipliée par A fait la matrice identité)
J'ai alors naturellement que la somme des coefficients aux carrés de chaque colonne de A fait 1 mais j'arrive pas en déduire le résultat.
Merci de m'aider
Comme la somme des carrés est égale à 1, la valeur absolue de chaque coefficient est inférieur à 1.
Quand on additionne n nombres compris entre 0 et 1 le résultat est inférieur à n.
Merci,
Par contre c'est la somme des coefficients de chaque colonne qui est inférieure à n avec ton raisonnment, alors qu'on demande la somme de tous les coefficients de la matrice qui doit etre inférieure à n non ?
Est ce que ce raisonnement est correct ?
La somme des carrés des coefficients de chaque colonne au carré est inférieure à 1, donc la somme des carrés des coefficients de la matrice est inférieure à n pusiqu'il y a n colonnes
Si je considère la somme des coefficients de la matrice orthogonale, et que j'utilise le théorème De Cauchy Scharz qui dit que le carré de cette somme va être inférieur ou égal à la somme des 1 de 1 à n (qui fait n) le tout multiplié par la somme des carrés des coefficients qui est inférieur à n j'obtiens une majoration par n^2
En prenant la racine j'obtiens le résultat.
-que signifie le cas d'egalite : si la valeur absolue de la somme des coefficients de la matrice orthogonale est égale à n ?
Merci bien !
Bonsoir
Pourquoi ne pas calculer . Et avec les informations de Verdurin et de carpediem, on pourrait conclure.
Bonsoir,
Merci pour vos réponses, Tr(M*tM)=n si M est orthogonal car M est semblable à l'identité puisque dans une base orthonormee la matrice de l'endomorphisme orthogonal est l'identité
De tM*M=Identité on déduit que la somme des carrés de chaque colonne vaut 1 et donc que les coefficients de chaque colonne sont tous inférieurs ou égaux à 1 avec la remarque de verdurin, de là le coefficient sur la diagonale n'echappe Pas à la règle et es inférieur à 1. La somme des n coefficients diagonaux étant égale à 1 et chaque coefficient étant égal à 1, y'a que des 1 sur la diagonale.
Et comme la somme des carrés des coefs des colonnes vaut 1 et y'a déjà un 1 sur la diagonale alors y'a des 0 partout sauf sur la diagonale
Merci bien !
Désolé, mais on ne peut rien faire avec la trace 
Mais on peut avoir
Faut prendre un vecteur colonne quelconque et conclure
Bonjour à tous.
Les deux raisonnements de Guillaume10 sont faux.
Le raisonnement fait le 20 janvier à 18h19
Si je considère la somme des coefficients de la matrice orthogonale, et que j'utilise le théorème De Cauchy Scharz qui dit que le carré de cette somme va être inférieur ou égal à la somme des 1 de 1 à n (qui fait n) le tout multiplié par la somme des carrés des coefficients qui est inférieur à n j'obtiens une majoration par n^2
Non, le carré de la somme est inférieur ou égal à la somme des 1 de 1 à
Le raisonnement fait le 20 janvier à 20h26 :
Tr(M*tM)=n si M est orthogonal car M est semblable à l'identité puisque dans une base orthonormee la matrice de l'endomorphisme orthogonal est l'identité
Non, une matrice orthogonale M n'est pas semblable à l'identité (sauf si cette matrice M est l'identité). Il est cependant exact que Tr(M*tM)=n .
De tM*M=Identité on déduit que la somme des carrés de chaque colonne vaut 1 et donc que les coefficients de chaque colonne sont tous inférieurs ou égaux à 1 avec la remarque de verdurin, de là le coefficient sur la diagonale n'echappe Pas à la règle et es inférieur à 1. La somme des n coefficients diagonaux étant égale à 1 et chaque coefficient étant égal à 1, y'a que des 1 sur la diagonale.
Et comme la somme des carrés des coefs des colonnes vaut 1 et y'a déjà un 1 sur la diagonale alors y'a des 0 partout sauf sur la diagonale
Je ne comprends pas le raisonnement qui est fait. Je vais me contenter de donner une matrice orthogonale M distincte de l'identité pour laquelle la somme des coefficients est égale à n .
Une matrice orthogonale telle que la somme des valeurs absolues des coefficients soit strictement supérieur à 2 :
@verdurin:
L'exercice de Guillaume10 porte sur la valeur absolue de la somme des coefficients d'une matrice orthogonale (et pas sur la somme des valeurs absolues des coefficients).
Bonsoir,
Une piste : on obtient la somme des coefficients d'une matrice avec pour
= vecteur composé de 1.
Peut-être en composant cette matrice avec sa matrice transposée.
En effet, en utilisant les notations de coa347:
(il s'agit du produit scalaire canonique dans
)
Et, en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz:
(On rappelle que, puisque est orthogonale:
)
ha mais quel con !!!
j'avais eu la même idée que coa347 avec le vecteur composé uniquement de 1 mais j'effectuais le produit scalaire uniquement avec un vecteur constitué d'une ligne (ou colonne) de la matrice ... mais j'obtenais comme toi avec l'identité de C-S
en fait il fallait le faire comme perroquet ...
merci
Bonsoir,
Ah ouais merci beaucoup perroquet !
Il y a 3 grosses erreurs dans mon raisonnement :
Un endomorphisme orthogonal vaut pas l'identité dans une base orthonormée (erreur 1) et y'a pas n coefficients dans une matrice mais n^2 (erreur 2), et la tr(tM*M) est différente de la trace de M (erreur 3).
La technique du produit matriciel par t(1,1,1,...,1) et le produit scalaire par (1,1,...,1) pour avoir la somme des coefficients de la matrice je la retiendrai
Bonsoir !
On sait que est un produit scalaire sur l'espace des matrices carrées.
Soit orthogonale,
la somme des coefficients,
la matrice où tous les coefficients sont égaux à
.
On a .
Par relation de Schwarz : .
Bonjour.
J'ai étudié le cas d'égalité.
En reprenant ma démonstration (20 janvier à 23h06):
.
Et, d'après le cas d'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz, la valeur absolue de la somme des coefficients de est égale à
si et seulement si
est colinéaire à
donc si et seulement si
ou
.
(rappelons que est orthogonale et que
est le vecteur dont toutes les coordonnées sont égales à 1).
Si on prend la démonstration de luzak, on aboutit facilement au même résultat.
Peut-on faire mieux et préciser davantage les matrices ?
Dans les cas et
, oui.
Je propose de faire l'étude dans le forum détente (je donnerai les liens dans un post ultérieur).
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