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Posté par
malou Webmaster
re : Maximum de points frontaliers 13-07-22 à 19:51

Citation :
@Malou : Je pense que tu as compris que je n'avais pas l'intention de gêner la modération avec mon message pdf et je crois que LittleFox est comme moi .


j'ai bien compris
Bonne soirée à tous.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Maximum de points frontaliers 16-07-22 à 17:23

Bonjour,
Je trouve dommage que la solution avec les déterminants ne soit pas plus mise en valeur dans ce sujet, alors que je la trouve séduisante et d'un abord assez aisé.
J'en propose donc une version très largement inspirée de la solution proposée par Pierre Renfer dans le site déjà cité

Soit ABC un triangle dont les sommets sont aux nœuds d'un quadrillage orthonormé et qui contient un unique nœud du quadrillage en son intérieur.

1) Utilisation de la formule de Pick
Soit i le nombre de nœuds du réseau intérieur à un triangle ABC.
Soit b le nombre de nœuds du réseau sur la frontière du triangle.
La formule de Pick donne alors l'aire S du triangle : S = i + b/2 - 1
Pour notre triangle ABC, i = 1 ; donc 2S = b.
Soient U, V, W le nombre de nœuds du réseau sur les segments semi ouverts respectivement [AB[, [BC[ et [CA[.
On a alors b = U+V+W. D'où 2S = U+V+W .
Les sommets A, B et C sont des nœuds du réseau ; donc les entiers U, V et W sont supérieurs ou égaux à 1.
On peut supposer 1 U V W.

2) Utilisation d'un déterminant
On choisit comme unité la longueur des côtés du quadrillage.
On choisit un repère orthonormé d'origine A avec des axes de coordonnées parallèles aux côtés du quadrillage.
A (0;0), B(x,y) et C(x',y') avec x, y, x', y' entiers relatifs. On a alors 2S = xy' - yx'.
Or les entiers x et y sont multiples de V et les entiers x' et y' sont multiples de W.
Donc 2S est multiple de VW.

3) D'après 1) et 2), VW divise U+V +W.
D'où: VW U+V+W 3W ; donc V 3
Il y a 6 couples (U,V) possibles avec U V :
(1,1) (1,2) (2,2) (1,3) (2,3) (3,3)

Si (U,V)=(1,1) alors W divise W+2 ; donc W divise 2. D'où W 2 et U+V+W 4.
Si (U,V)=(1,2) alors 2W divise W+3 ; donc W 3 et U+V+W 6.
Si (U,V)=(2,2) alors 2W divise W+4 et W 4 et U+V+W 8.
Si (U,V)=(1,3) alors 3W divise W+4 et W 2 ; ce qui est impossible.
Si (U,V)=(2,3) alors 3W divise W+5 et W 5/2 ; ce qui est impossible.
Si (U,V)=(3,3) alors 3W divise W+6 et W 3 et U+V+W 9.

Dans tous les cas, on a U+V+W 9.
D'où S 9/2.

Posté par
Imod
re : Maximum de points frontaliers 16-07-22 à 18:27

Il me semble que la solution de Pierre Renfer a été citée et reconnue à plusieurs reprises sur ce fil

Pour moi il ne s'agît pas d'attribuer des étoiles à qui que ce soit . On a trois démonstrations valides ( j'enlève celle de Pierre Jullien ) pour un unique point intérieur . Laquelle s'adapte le mieux à deux points intérieurs ( ou plus ) ?

Conjecture : Aire maximale = 2I+2 .

Imod

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Maximum de points frontaliers 16-07-22 à 18:38

Loin de moi l'idée d'attribuer des étoiles
Disons qu'un îlien lira plus facilement une démonstration écrite dans ce fil qu'une démonstration qu'on peut afficher en utilisant un lien vers un autre site, puis en cliquant sur le bon bouton.

Posté par
Imod
re : Maximum de points frontaliers 16-07-22 à 18:43

D'accord , on regarde donc pour deux points intérieurs

Imod

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Maximum de points frontaliers 16-07-22 à 19:20

Avec i = 2, on trouve u+v+w = 2S-4.
2S reste un multiple de vw ; donc vw divise u+v+w+4.
vw 3w+4.
v 3+4/w.
w v ; donc 4/w 4/v.
D'où v 3+4/v puis v 4.
Quelques cas à étudier

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Maximum de points frontaliers 17-07-22 à 10:05

Oups, une erreur :
C'est u+v+w = 2S-2.
On trouve alors v 3.
On a donc les mêmes cas que pour i = 1.
Mais S = 1 + (u+v+w)/2.
Le maximum serait donc 11/2 = 5,5.
Ce qui correspondrait à une conjecture i+7/2 ?

Posté par
Imod
re : Maximum de points frontaliers 17-07-22 à 11:43

Il me semble que la conjecture ne tient pas

Maximum de points frontaliers

Imod

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Maximum de points frontaliers 17-07-22 à 12:00

Oui, j'avais vu et venais de faire la même figure :
Maximum de points frontaliers
Je suis allée trop vite
Il faut reprendre les différents cas avec vw divise u+v+w+2 au lieu de u+v+w.
Je ne vais plus être disponible avant mercredi.
Vous aurez peut-être avancé d'ici là

Posté par
Imod
re : Maximum de points frontaliers 17-07-22 à 15:55

Pour le cas général :

Maximum de points frontaliers

Peut-on faire mieux ?

Imod

Posté par
LittleFox
re : Maximum de points frontaliers 19-07-22 à 16:47


Oui, pour I = 0 l'aire n'a pas de limite et pour I = 1 on  a démontré que le maximum était A = 9/2 > 2I + 2.
Pour I > 1, on montre facilement que 2I+2 est le maximum à partir de l'inéquation \sum_{y=1}^{h-1}\lceila\frac{h-y}{h}-1\rceil \le I.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Maximum de points frontaliers 20-07-22 à 11:58

De retour
J'ai repris les différents cas pour u, v et w avec i = 2.
Le résultat est S 6.
S = 6 que pour u = v = 2 et w = 6.
Ce qui correspond à la figure de Imod du 17 à 15h55 avec n =3.

Posté par
Imod
re : Maximum de points frontaliers 20-07-22 à 12:09

Chacun suit son fil et ce n'est pas désagréable

Posté par
Imod
re : Maximum de points frontaliers 20-07-22 à 12:22

Chacun suit son fil et ce n'est pas désagréable

J'ai aussi réussi à conclure dans le cas général ( les deux exceptions notées par LittleFox avait déjà été relevées ) . On se retrouve à montrer que pour I>1 : F-A<=4 . Le cas a>1 est facile à résoudre et pour a=1 on est réduit à borner le nombre de points intérieurs sur une ligne verticale ( ma formule est plus simple que celle de LittleFox que je n'arrive pas à lire )

Imod

PS : Il y a un problème avec le LaTeX du forum ou c'est moi ?

Posté par
malou Webmaster
re : Maximum de points frontaliers 20-07-22 à 13:09

Imod, ce n'est pas toi...nous avons bel et bien un gros souci avec le Ltx...les congés des uns et des autres ne facilitent pas le retour à la normale...

Posté par
Imod
re : Maximum de points frontaliers 20-07-22 à 18:49

J'ai l'impression que la formule du maximum de l'aire en fonction du nombre de points intérieurs reste valable pour tout polygone convexe ( les sommets toujours aux nœuds du quadrillage ) .

Imod

Posté par
malou Webmaster
re : Maximum de points frontaliers 23-07-22 à 18:38

Bonjour à tous, bonjour Imod et Sylvieg,
Je viens de supprimer certains de vos messages, car après avoir échangé avec Sylvieg, nous allons modifier la FAQ pour ce forum "détente" pour l'autorisation des images et des pdf.
Cela ne sera toujours pas autorisé pour les énoncés, mais pour des réponses longues à rédiger, contenant de nombreux dessins, pdf ou images seront autorisées (en sachant que dans un même message, nous sommes limités à 3 images)
Imod, tu peux remettre tes réponses en pdf et si j'estime que cela est préférable pour la lecture du sujet, j'en ferai des images.
Rq : vu que des messages ont été supprimés, je ne sais pas quels pdf vont se charger. Si cela ne va pas, tu peux aussi tout m'envoyer dans ma boîte mail (en me disant dans quel ordre je dois mettre tout ça )


Imod, je remets tes deux messages, si souci me le dire.

Posté par
Imod
re : Maximum de points frontaliers 23-07-22 à 19:48

@Malou et Sylvieg

Vous pouvez enlever mes deux derniers messages ( et cacher ainsi une erreur grossière qui me fait honte ) .

J'aimerais tout de même revenir sur l'objet de mon intervention même si Malou a bien résumé l'idée . Nous avons vu dans le forum détente des problèmes ouverts qui s'étalaient sur plusieurs pages avec des messages blankés et des erreurs corrigées à la va vite . Il est difficile de se souvenir de l'ensemble des résultats admis et relire l'ensemble des interventions est parfois pénible ( surtout pour quelqu'un qui découvre  le problème ) . Résumer les résultats  comme le font régulièrement Mathafou et d'autres aide énormément à progresser en économisant les redites mais de tels messages ne sont pas faciles à réaliser proprement avec les limites du site .

En bref une petite tolérance pour une détente plus constructive , on applaudit

Il n'est bien sûr pas question d'user et d'abuser du temps des modérateurs qui ont certainement bien d'autres soucis

Imod

malou edit > voilà, j'ai enlevé,  pas de soucis

Posté par
Imod
re : Maximum de points frontaliers 30-07-22 à 12:46

J'ai laissé le problème reposer un bon moment et je pense avoir une démonstration complète . Pour tout polygone convexe on a bien A<=2I+2 si I>1 .

Je pensais à une récurrence sans aboutir et je suis revenu aux arguments déjà utilisés plus quelques autres et ça semble marcher . Je reviens avec une solution rédigée dès que possible

Imod

Posté par
Imod
re : Maximum de points frontaliers 31-07-22 à 18:21

Une proposition de solution bizarrement très courte :

Maximum de points frontaliers

A vérifier bien sûr

Imod

Posté par
LittleFox
re : Maximum de points frontaliers 03-08-22 à 15:40

Pourquoi est-ce qu'on aurait a+b 3?
Sinon, ne faudrait-il pas aussi analyser le cas a+b > 3?
Dans le 3 ème cas, pourquoi est-ce que 2A h(h-d)?

Posté par
Imod
re : Maximum de points frontaliers 03-08-22 à 18:58

Bonjour LittleFox , et merci pour l'effort de lecture

Je n'ai volontairement donné qu'une trame car chacun risque de bloquer sur un point différent et je ne suis nul pour les grands laïus .

1-2°) Pourquoi a+b\leq 3 et sinon ?

Ce n'est absolument pas une nécessité mais le but est d'établir que \Delta\leq 0 et comme h\leq 2 ...

3°)  Pourquoi 2A\geq h(h-d) ?

C'est plus délicat , je pensais que l'illustration avec les traits rouges permettait de suivre . L'aire du polygone est supérieure ou égale à celle du quadrilatère rouge délimité par les quatre triangles rectangles  . Ensuite on peut remarquer que l'aire du rectangle est inférieure à deux fois l'aire du quadrilatère rouge plus l'aire du rectangle grisé ( pavage ) .

J'espère que c'est plus clair et n'hésite pas si tu as d'autres questions .

Imod

Posté par
LittleFox
re : Maximum de points frontaliers 04-08-22 à 09:29

1-2) Tu utilises a+b 3 dans les deux démo h=3 et h 4. Dans le cas h=3, la démo ne tient pas sans cette supposition. Dans le cas h 4, je ne vois pas où elle est utilisée. Mais tu en fais malgré tout l'hypothèse.

3) D'accord mais j'obtiens 2A hL. => OK L > (h-d)

Posté par
Imod
re : Maximum de points frontaliers 04-08-22 à 10:17

1-2) Je vois ce qui te gène , on a \Delta \leq(2-h)(a+b-4) et il est clair que h\geq 2 . Comme on veut montrer que \Delta \leq 0 , seul le cas a+b\leq 3 reste en suspens .

3) Il faut faire attention , quand on compte deux fois chacun des triangles rectangles on ne recouvre pas complètement le grand rectangle ( il reste le petit rectangle au centre ) . Par contre , si on ajoute la partie grisée aux huit triangles , on dépasse l'aire du rectangle .

Imod

Posté par
LittleFox
re : Maximum de points frontaliers 05-08-22 à 09:36

Ok, avec ces précisions alors ça me semble OK.

3) A les triangles rectangles plus le petit rectangle => 2 A 8 triangles rectangles + 2 petits rectangles = hL + 1 petit rectangle hL.

Posté par
Imod
re : Maximum de points frontaliers 05-08-22 à 10:55

Bon , on peut considérer que le sujet est clos

Un grand merci à toi et à tous les participants

Imod

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