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Méthode plus simple ?

Posté par Dardentor (invité) 03-04-05 à 11:09

Salut voici l'exo :

f est la fonction définie sur R-{2} par:
f(x)=(2x^3-7x²+3x-3)/(x-2)²

1)Etudier la fonction f. (En l'occurence le prof nous a di dérivé , variation plus limites ).

Le pobleme c'est lorque je dérive ca me donne quelque chose de compliqué :

f'(x)=(6x^4-36x^3+83x²-68x+12)/((x-2)^4)  ( sauf ereur de ma part )

C'est donc le bordel pour trouver les racines du numérateur.
Le probleme est que la quesion 2) est :

Démontrez qu'il existe des reels a,b et c tels que pour tout reel x different 2 :

f()=a+b+(c/(x-2))+(d/(x-2)²)

Cela veut dire que je doit trouver une autre méthode que celle ci pour faire l'exo 1 ....

              merci d'avance de m'aider...

Posté par
soucoure : Méthode plus simple ? 03-04-05 à 11:31

Sans faire les calculs tu peux facilement réduire la dérivé d'un degré

la dérivé de ((x-2)^2)'=2x(x-2) moralité tu te retrouveras plus qu'avec du cube au dénominateur mais bon il restera sans doute un polyne du troisième degré à réssoudre...

Je n'ai pas encor fais les calculs je vais de suite les faire.

Posté par
soucoure : Méthode plus simple ? 03-04-05 à 11:40

Le deux n'est pas dur

tu as f(x)=\frac{(a+b)(x-2)^2+c(x-2)+d}{x-2}=\frac{ax^2+bx^2-4ax-5bx+4a+4b+cx-2c+d}{(x-2)^2}
f(x)=\frac{(a+b)x^2-(4a+5b-c)x+(4a+4b+d)}{(x-2)^2}

Puis identifier le probléme c'est que je n'est pas de monôme au cube...

Posté par
lyonnaisre : Méthode plus simple ? 03-04-05 à 11:42

salut Dardentor :

2$ f(x)=\frac{2x^3-7x^2+3x-3}{(x-2)^2}

2$ f'(x)=\frac{(6x^2-14x+3)(x-2)^2-2(2x^3-7x^2+3x-3)(x-2)}{(x-2)^4}

2$ f'(x)=\frac{(x-2)[(6x^2-14x+3)(x-2)-2(2x^3-7x^2+3x-3)]}{(x-2)^4}

2$ f'(x)= \frac{6x^3-12x^2-14x^2+28x+3x-6-4x^3+14x^2-6x+6}{(x-2)^3}

2$ f'(x)=\frac{2x^3-16x^2+25x}{(x-2)^3}

3$ \blue \fbox{f'(x)=\frac{x(2x^3-12x+25)}{(x-2)^3}}

@+

Posté par
Nightmarere : Méthode plus simple ? 03-04-05 à 11:43

La théorie de la décomposition en élément simple nous demande de trouver a , b , c et d tels que :
f(x)=ax+b+\frac{c}{x-2}+\frac{d}{(x-2)^{2}}
et non :
f(x)=a+b+\frac{c}{x-2}+\frac{d}{(x-2)^{2}}

Il manquait un x (erreur de recopiage ? )


jord

Posté par
lyonnaisre : Méthode plus simple ? 03-04-05 à 11:46

désolé soucou, mais pour moi, la dérivée de   (x-2)^2 c'est   2(x-2)  et pas    2x(x-2)

je regarde le reste de l'exo ...

Posté par David TS (invité)Réponse 03-04-05 à 11:47

Bonjour,

Lyonnais il y a une petite erreur dans ton message :

f'(x)=[x*(2x²-16x+25)]/(x-2)3

Voilà!

Posté par Gilles007 (invité)re : Méthode plus simple ? 03-04-05 à 11:48

Salut,
j'ai pas vérifié si ta dérivée est bonne, en tout cas, elle n'est aps simplifiée, d'où ta difficulté.
alors, on prend:
u(x)=2x3-7x²+3x-3 et v(x)=(x-2)²
Tu dis que c'est dérivable sur R-{2} et c'est que la forme \frac{u(x)}{v(x)}.
La dérivée est donc \frac{u'(x).v(x)-v'(x).u(x)}{v(x)^2}.
avec u'(x)=6x4-14x+3
et v'(x)=2(x-2)
on a alors:
f'(x)=\frac{(6x^2-14x+3)(x-2)^2-2(x-2)(2x^3-7x^2+3x-3)}{(x-2)^4}
et au lieu de tout développer, pense d'abord a SIMPLIFIER avec le (x-2)!!
Tu as alors:
f(x)=\frac{(6x^2-14x+3)(x-2)-2(2x^3-7x^2+3x-3)}{(x-2)^3}
Tu développe et tu n'as plus qu'à factoriser par x:
f(x)=\frac{x(2x^2-12x+25)}{(x-2)^3}
voilà, il y a donc déjà une solution x=0 et les deux autres possibles sont trouvées par la méthode du discriminant que tu as du voir en 1ere. Mais il est négatif, ce polynome n'admet aps de solutions sur R.
Au final, on a:
S={0}
Voilà, en espérant t'avoir aidé..
Bye

Posté par
soucoure : Méthode plus simple ? 03-04-05 à 11:50

Oui bien vu lyonnais...

Posté par
lyonnaisre : Méthode plus simple ? 03-04-05 à 11:50

a oui, c'est vrai David TS : merci pour le emarque ( erreur d'inatension )

3$ \red \fbox{f'(x)=\frac{x(2x^2-12x+25)}{(x-2)^3}}

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Méthode plus simple ? 03-04-05 à 11:53

C'est plus facile s'il n'y a pas d'erreur

f '(x) = ((x-2)².(6x²-14x+3)-2(x-2)(2x³-7x²+3x-3))/(x-2)^4
f '(x) = ((x-2).(6x²-14x+3)-2(2x³-7x²+3x-3))/(x-2)³
f '(x) = (6x³-14x²+3x-12x²+28x-6-4x³+14x²-6x+6)/(x-2)³
f '(x) = (2x³-12x²+25x)/(x-2)³
f '(x) = x.(2x²-12x+25)/(x-2)³

A toi pour continuer...


Posté par Dardentor (invité)re : Méthode plus simple ? 03-04-05 à 11:58

merci a tous .
Pour l'exo 2 j'avais bel et bien fait une erreur de recopiage en oubliant un x .

En fait j'i juste a simplifier ma dérivé par (x-2) .

Merci encore !

Posté par Dardentor (invité)re : Méthode plus simple ? 03-04-05 à 17:32

Pourrai  ton m'aider pour la question 2 ??
ca fé 2H que je suis dessus a essayer la division euclidienne mais je n'y arrive pa.

Merci d'avance encore!

Posté par
soucoure : Méthode plus simple ? 03-04-05 à 17:40

Oui pour la 2) j'étais bien parti

bon f(x)=ax+b+\frac{c}{x-2}+\frac{d}{(x-1)^2}
    f(x)=\frac{(ax+b)(x-1)^2+c(x-2)+d}{(x-1)^2}
    f(x)=\frac{(ax^2+bx-ax-b)(x-1)+cx-2c+d}{(x-1)^2}
    f(x)=\frac{ax^3+bx^2-ax^2-bx-ax^2-bx+ax+b+cx-2c+d}{(x-1)^2}

Mais les monomes de même degré ensemble et montre moi le résultat je te dirais la suite...

Posté par Dardentor (invité)re : Méthode plus simple ? 03-04-05 à 17:47

J'avais deja lu ton message plus haut..mais bon puisquetu m'aide je ne vais pas refuser.

f(x)=(ax^3+bx²+2ax²-2bx+ax+b+cx-2c+d)/(x-1)²
    
    =(ax^3+(2a+b)x²-(2b+a+c)x+b+d+-2c)/(x-1)²   (sauf erreurs...)

Et apres ?

Posté par
soucoure : Méthode plus simple ? 03-04-05 à 17:54

moi je dirais plutôt

ax^3+(b-2a)x^2+(a-2b+c)x+(b-2c+d) bon le dénominateur à ce stade ne joue plus

si tous colle tu dois pouvoir résoudre le système aprés identification:

\left\{a=2\\b-2a=-7\\a-2b+c=3\\b-2c+d=-3\right.

Voilà rn  tout cas la démarche à suivre

Posté par Dardentor (invité)re : Méthode plus simple ? 03-04-05 à 18:02

Merci .

PS: C halucinant la difference entre faire des maths sur PC et sur un bout de papier...J'arriverais jamais a faire des calculs justes sur PC

Posté par
soucoure : Méthode plus simple ? 03-04-05 à 18:07

bon a=2, b=-3, c=7 et d=14 trouves tu aussi ça ?


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