bonsoir

j'aurais exprimé y en fonction de x : y = 10-x
puis recherché le minimum de la fonction f(x) = x² + (10-x)² --- à réduire (second degré)
...

effectivement mais ça prendra beaucoup de temps alors cette section de concours a comme durée limite 30 Min ( 20 Questions )

non au contraire, c'est rapide (à mon avis 1 mn).
dès que tu as réduit, tu as la fonction du second degré.
tu trouves le minimum avec -b/(2a)
hop, tu déduis y
et le résultat de x³ - y³ est alors évident.

Bonjour,
On peut aussi utiliser les points M de coordonnées (x,y) dans un repère orthonormal du plan.
Si M est sur la droite (D) d'équation x+y = 10 , on a x²+y² = OM .
Le minimum de OM s'obtient avec H projeté orthogonal de l'origine O du repère sur la droite (D) .
Les coordonnées du points H sont assez faciles à trouver.

c'est un polynôme du premier degré d'après mes calculs :
y = 10 - x : (x²-y²) = x² - (10-x)² = x² - (100 - 20x +x²) = 20 x- 100

c'est x² + (10-x)² et non pas x² - (10-x)²

Ay oui mercii bcp Clarita

Bonjour
si je devais faire ça rapidement, je le ferais graphiquement : les deux axes, deux points aux graduations 10 de chaque axe, la droite qui lie les deux points (d'équation x + y = 10)
le point le plus proche de l'origine obtenu par projection orthogonale, donc vérifie x = y : x^3 - y^3 est donc nul ....
en quinze secondes c'est plié (j'ai mis bien plus longtemps à taper ce court texte qu'à faire le petit croquis)

Bonjour,
@lafol : Quelle différence avec mon message de 21h32 ?

Bonjour,

S'il faut répondre rapidement, cela paraît intuitivement évident que le minimum est atteint en x=y=5 (on fait x=0, y=10 donne 100, on peut continuer de tête x=1, y=9, ... , la valeur la plus petite est atteinte quand on coupe 10 à parts égales). Cela donne 0 pour x^3-y^3.

Il m'a fallu 5 secondes.

Bonsoir,
une autre façon de voir les choses : le problème est manifestement symétrique en x et y.
En d'autre termes, si on échange x et y la réponse ne change pas.

On a donc et la seule réponse possible est 0.