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Minorant-majorant d'une fonction
Bonjour,
Soit f la fonction numérique définie sur R par
1) Montrer que la fonction f est majorée par 2,
2) Montrer par l'absurde que f n'est pas minorée.
Réponse :
1. On peut écrire f sous sa forme canonique :
f(x)= -(x- 1/2)2+2.
Donc on constate facilement de cette forme que : 
x
R, f(x)
2.
D'où f est majorée par 2 sur R .
2. On suppose que :
xR, 
(mR), f(x)
m.
-(x-(1/2))2+2 m.
Or la courbe représentative de f est une parabole de sommet S( 1/2 ; 2) orienté vers les ordonnées négatives (parabole convexe) donc coupe l'axe des abscisses en deux points et a comme axe de symétrie la droite verticale d'équation x=1/2.
Donc contradiction puisqu'il n'y a pas de minorant .
A-t-on le droit de dire que c'est un raisonnement par l'absurde ou il faut procéder algébriquement?
i.e : f(x)- m0
Le discriminant 
= 4(2-m).
À partir de là je n'ai pas pu avancer.
Merci de m'aider.
Bonjour,
La question 1) peut se traiter de manière plus élémentaire avec cette méthode :
Pour démontrer A B, on étudie le signe de B-A.
Ici, le signe de 2 - f(x).
En calculant 2 - f(x), on voit apparaître une identité remarquable.
On a -x2+x+ 7/4 x+ 7/4 .
Comme on a supposé que f(x)m donc x+7/4m.
Ce qui est équivalent à xm-7/4.
Cette inégalité n'est vraie que si m2.
Elle est vraie pour m2
C'est une contradiction .
Donc f n'est pas minorée.
Merci.
.
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