Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... ProbabilitésTopics traitant de probabilités [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Prepa (autre)
Partager :

Mise au carré de n variables aléatoires

Posté par
leo210605 20-05-24 à 16:03

Bonjour, est-ce que quelqu'un pourrait me confirmer que :
(X1+X2+...+Xn)2 = Σni=1(Xi)^2+ 2Σni=1Σnj=1, j≠iXiXj
j'ai l'impression que c'est ça mais une correction dans un livre (dans lequel il y a par ailleurs pas mal de coquilles me dit que ce n'est pas ça)
Merci de vos réponses

Posté par
carpediemre : Mise au carré de n variables aléatoires 20-05-24 à 16:32

salut

il faut enlever le facteur devant la double somme car tu comptes quatre fois chaque produit :

par exemple avec (i, j) = (1, 2) et (i, j) = (2, 1) pour lesquelles on a bien i \ne j

et tu peux vérifier en prenant par exemple n = 4 (ou n = 3)

Posté par
carpediemre : Mise au carré de n variables aléatoires 20-05-24 à 16:33

le facteur 2 !!

Posté par
verdurinre : Mise au carré de n variables aléatoires 20-05-24 à 16:37

Bonsoir,
il me semble que le facteur 2 est en trop : tu vas avoir dans ta somme X_1X_n et X_nX_1.
Pour avoir le facteur 2 j'écrirais plutôt
\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2= \sum_{i=1}^n x_i^2+2\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j

Posté par
Ulmierere : Mise au carré de n variables aléatoires 20-05-24 à 20:58

C'est simplement une histoire de distributivité du produit sur l'addition

\begin{array}{lcl} \\ \left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2 &=& \sum_{i=1}^n x_i \times \sum_{j=1}^n x_j\\ \\ &=& \sum_{i=1}^nx_i\left(\sum_{j=1}^n x_j\right)\\ \\ &=& \sum_{i=1}^nx_i\left(x_i + \sum_{j=1, j\neq i}^n x_j\right)\\ \\ &=& \sum_{i=1}^n x_i^2 + \sum_{i=1, j=1, i\neq j}^n x_ix_j \\ \end{array}

Posté par
leo210605re : Mise au carré de n variables aléatoires 20-05-24 à 22:29

Merci beaucoup !

carpediem @ 20-05-2024 à 16:32



salut

il faut enlever le facteur devant la double somme car tu comptes quatre fois chaque produit :

par exemple avec (i, j) = (1, 2) et (i, j) = (2, 1) pour lesquelles on a bien i \ne j

et tu peux vérifier en prenant par exemple n = 4 (ou n = 3)

Posté par
carpediemre : Mise au carré de n variables aléatoires 21-05-24 à 08:14

de rien


cancel Le site a rencontré un problème temporaire.
Merci de retenter l'opération plus tard

Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île
Mentions légales - Retrouvez cette page sur l'île des mathématiques
© digiSchool 2026

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !