Bonjour,
Si tu as vu les Logarithmes  ,tu peux t'entrainer ainsi:
1 000  a 4 chiffres hors son log est 3
1 000 000 a 7 chiffres hors son log est 6
1 000 000  000 a 10 chiffres hors son log est 9
Tu vois que le nombre des chiffres de N est égal à son log +1 (N)
ICI  log (2026) x2026

Une petite précision;
1000 =1000^1    son nombre de chiffres est log(1000) x1+1=3+1=4
1000000 =1000^2                                                        log(1000)x2+1 =   7
1000000000=1000^3                            log(1000)x3+1=10
2026^2026                                                                             log(2026)x2026+1

Bonjour,

Voir Éduscol, rubrique « Algorithmique et programmation », puis « Nombre de chiffres d'un nombre donné (seconde) » :

Quelques lignes de Python suffisent, et 2026²⁰²⁶ est traité en moins d'une « seconde » sur une machine moderne.

Bonjour

Il y a beaucoup plus rapide et plus simple .

Chat GPT , peut me donner sans explication le nombre de chiffres de 2026^2026 ?

Réponse instantanée : 6700 .

Un élève de 5ème peut le faire

Imod

C'est une réponse qui me déçoit vraiment venant d'Imod.

Tu as le droit d'être déçu

Si je peux faire un bref résumé de ma vie comme élève , enseignant puis retraité ( uniquement pour les problèmes de calculs , le reste c'est pour moi  ) . Ton parcours doit être proche du mien .

Jusqu'au lycée , tous les calculs se faisaient à la main , à l'aide de tables ou de règles à calcul . Pour les études supérieure , chose même si on apprenait les rudiments de l'informatique . En bref quand il fallait résoudre un système , inverser une matrice , décomposer en facteurs premiers ... Tout se faisait à la main .

Ensuite , les choses ont évoluées exponentiellement :

Les calculettes , de plus en plus performantes devenant calculatrices programmables puis graphiques ...

Ensuite , on a vu tous les tableurs , solveurs , ...

Ce n'est pas un avis critique , mais à chaque étape il a fallu accepter une évolution avec ses + et ses - .

L'IA deviendra la norme dans un ou deux ans et personne n'y trouvera à redire .

Si on accepte en seconde une résolution avec Python , pourquoi refuserait on une résolution avec Chat GPT ?  Quelque part , c'est la machine qui fait le gros du travail .

Imod

La méthode de dpi n'est pas du niveau seconde ( c'est celle que j'ai utilisé spontanément ) mais elle utilise un minimum de mathématique et de réflexion.

Pour l'anecdote : quand j'allais au lycée je faisais 12km à pied chaque jour et ça n'avait rien d'extraordinaire.  À l'époque on ne voyait personne courir pour s'entraîner.  
Quand j'étais encore prof, en fin de carrière,  j'ai entendu des élèves se plaindre d'avoir 1km à faire à pied pour rentrer du cours de sport. Et on voyait déjà des gens courir pour maintenir leur forme physique. Avec l'IA on va voir des gens devoir faire des exercices pour maintenir leur forme intellectuelle.

La réponse de Imod étant arrondie je me permets de donner à dodo7005 une méthode jouable en seconde:
2026^1=4 chiffres
2026 ^2=7 chiffres
2026^4= 14 chiffres
2026^8= 27 chiffres
2026^16 =53 chiffres
tout cela trouvable sur tableur
au delà  il suffit de constater que  pour le suivant on a nx2+1
soit pour 2026^2048---> 6657
auquel il faut enlever 22  équivalent puissances (2048-2026) soit
environ (interpolation entre 16 e32 ) 72 chiffres
Soit environ     6585 chiffres.

Ma réponse peut accepter de nombreuses critiques mais le résultat est exact et il peut être obtenu sans effort par un élève de 5ème

Imod  

je suis vraiment déçu! je m'attendais à trouver de vrais "matheux" qui utilisent un stylo et un papier et surtout leurs cellules grises pour résoudre un problème de math. et non recourir à un tableur, à python ou chatgpt ce qui tue l'intelligence humaine

Tu auras d'autres déceptions bien plus sévères

L'IA est un outil comme un autre , il apporte des réponses rapides à  de nombreuses questions élémentaires , savoir si un nombre est premier ou donner une factorisation un peu tordue ... Après , l'utilisation de l'IA par un élève en formation pose question , on ne donne pas une calculette à un enfant qui apprend à poser une opération .

Imod

Bonjour,
Je partage la déception de dodo7005.
J'espérais qu'émergerait une réponse ou une indication plus pertinente. Même s'il ne faut pas rêver à une solution sans aide aux calculs (dans le même genre que celle de dpi qui reste la moins décevante).
Perso, je n'ai rien trouvé

@dodo

En seconde, on apprend normalement à faire des ordres de grandeurs. Essayons ici pour 2026²⁰²⁶.

Déjà tu peux essayer 2026≃2x10³ et 2¹⁰≃10³

(2×10³)²⁰²⁶=2²⁰²⁶×10⁶⁰⁷⁸.

Il faut maintenant estimer le nombre de chiffres de 2²⁰²⁶
2²⁰²⁶≃2²⁰²⁰=2¹⁰ˣ²⁰²=(2¹⁰)²⁰²≃(10³)²⁰²=10⁶⁰⁶

donc (2×10³)²⁰²⁶≃10⁶⁰⁶×10⁶⁰⁷⁸=10⁶⁶⁸⁴

On a l'ordre de grandeur, 6684. On n'est finalement pas loin de 6700. Mais a priori il n'existe pas d'autres méthodes que l'informatique ou le log pour obtenir précisément les 6700

Tu peux aussi essayer avec 2026≃2048=2¹¹, mais c'est pareil

pour Imod: c'est une question qui a été posée aux olympiades et tu ne peux utiliser que ton cerveau pour répondre car l'objectif des olympiades est justement de tester l'intelligence humaine. l'IA tu peux l'utiliser chez toi!

@dodo7005 : tu peux être plus précis sur et indiquer un lien sur le sujet concerné? Je ne trouve pas ta question dans les annales

@Dodo7005

Tout le monde a pris mon message au premier degré alors que c'était un trait d'humour mais ce n'est pas grave si ça peut faire réfléchir . En fait on a droit à quoi dans cet exercice , juste à un papier et un crayon et les connaissances d'un élève moyen de seconde ?

Imod

Je crois que c'est l'exercice qui est sans intérêt.
Il est trivial si on a accès à un ordinateur : on tape len(str(2026**2026)) dans une console python ou on demande à une IA. Pour moi la première méthode est plus facile car je ne maîtrise pas l'IA.
Si on connaît la fonction logarithme décimal une calculette suffit.
Si on a accès à aucun moyen de calcul électronique je doute qu'il soit possible de trouver la réponse exacte.

J'aimerais que dodo7005 nous donne une réponse papier-crayon niveau seconde.

C'est pour ça que je demandais l'énoncé précis.

En python avec len(str(2026**2026)):

Python 3.10.18 (main, Dec  8 2025, 12:59:32) [GCC 12.3.0] on linux
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> len(str(2026**2026))
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ValueError: Exceeds the limit (4300) for integer string conversion; use sys.set_int_max_str_digits() to increase the limit
>>>

Même si le prompt nous donne la méthode pour augmenter la limite, ce sera toujours au pifomètre. Et si on demande le nombre de chiffre de  20260**20260 , ça va vite atteindre des limites.

Avec une Numwork (c'était peut-être le but de l'exo), on peut essayer ceci:

2026²⁰²⁶=∞ .  On a même la limite basse 2²⁰²⁶=∞
Il faut donc décomposer afin que la calculette "réponde" quelque chose.  Ca c'est faisable en seconde. Etait-ce le le but de l'exo? Manipuler les puissances?

2026²⁰²⁶=(2x1013)²⁰²⁶
=2²⁰²⁶x1013²⁰²⁶
=(2¹⁰¹³)²x1.013²⁰²⁶x(10³)²⁰²⁶
=(8.7777985x10³⁰⁴)²x2.315987974x10¹¹x10⁶⁰⁷⁸
=(8.7777985)²x10⁶⁰⁸x2.315987974x10¹¹x10⁶⁰⁷⁸
=77.04974668x2.315987974x10⁶⁰⁸x10¹¹x10⁶⁰⁷⁸
=156.5341727x10⁶⁰⁸⁺¹¹⁺⁶⁰⁷⁸
=1.565341727x10²x10⁶⁶⁹⁷
=1.565341727x10⁶⁶⁹⁹

Ce qui donne bien 6700 chiffres.

Au passage, les calculatrices en mode examen sont autorisées aux Olympiades nationales (de 1ère) .
Pas encore l'IA. Du coup python aussi. Et même pas la limitation que j'ai eu sur le PC !!

On peut aussi chercher en tâtonnant avec une calculatrice collège une valeur approchée de   tel que . C'est relativement facile vu la croissance de la fonction . On arrête dès que est compris entre deux entiers . Ce n'est pas très long mais d'un intérêt extrêmement limité .

Imod

Edit : .
Imod

Edit 2 : on arrête quand 2026*x est compris entre deux entiers .

Imod

PS : l'impossibilité d'édité est toujours aussi pénible

À fabo34, une capture d'écran :

Peut-être que les versions plus récentes de python sont moins tolérantes.

Je reprends mon explication en détaillant et en supprimant les coquilles .

On cherche à la calculatrice une valeur approchée de tel que . C'est facile en tâtonnant vu la croissance de la fonction . On arrive rapidement à donc . On a alors . Comme a chiffres . Tout cela est très artificiel car il y a du logarithme décimal caché dans l'affaire .
Imod

Moi j'aime bien ma méthode par approximation voir 16/08 7h31...
Une fois connu le nombre de chiffres pour les premières puissances de 2 "exploitables "de 2026 on arrive  à 2026^2048 et on soustrait le nombre de chiffres de 2026^22 par interpolation .
A noter que le nombre exact dépend de la précision de log ( 2026  )