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Nombre impair d'antécédents [2]
Bonsoir 
Je remonte la question, que je trouve intéressante, pos(t)ée par perroquet en bas de ce fil : 
Défi : fonction !
Soit
La fonction prend-elle bien ses valeurs sur [0;1] également ?
Si c'est le cas, un petit dessin permet vite de se faire une idée dans le carré unité et la démonstration doit en découler.
Bonjour Rodolphe, Onoff,
Dans [0;1] ou pas, l'image d'une fonction continue sur un segment est un segment. Donc tu peux toujours dire que f([0;1])=[m;M], auquel cas supposer m=0 et M=1 se fait sans perte de généralité. Donc tu peux toujours dessiner ton petit rectangle pour bien voir
On avait vu cet exercice avec un ami cette année, et à part remarquer que "c'est évident" on avait pas réussi à le démontrer ... Il a peut être réussi depuis (il est plus persévérant que moi).
Je relance donc mes recherches
?Bonjour Onoff,
Bonjour ;
Soit une fonction continue qui prend toutes ses valeurs un nombre fini de fois .
Prouver que prend au moins une de ses valeurs un nombre impair de fois . bonne réflexion !
J'ai suivi le lien que tu donnes, et c'est exactement cet exercice dont je parle au dessus, celui que tu proposes étant une variante.
Cependant je n'avais pas trouvé celui ci, et même si j'ai pas beaucoup cherché je ne trouve pas le tiens non plus.
Tu as la réponse ou tu en as besoin ?
Sinon pour la résolution, graphiquement c'est évident, mais je ne vois pas comment mettre en place la démonstration ... Je vais y réfléchir un peu.
@Noflah:
Oui, je pense avoir une solution (moi aussi, j'ai cherché un moment ce truc qui, de prime abord, n'a pourtant pas l'air méchant) et je voudrais bien voir d'autres démonstrations.
Bonjour Onoff,
J'ai lu le topic dont tu donnes le lien, je pensais que le résultat d'elthor était vrai, je suis surpris par le résultat de Blang.
Aussi quand ton énoncé dit "continue et strictement monotone par morceaux ", cela implique-t-il que la fonction change de sens de variation un nombre fini de fois ou non ?
Car si elle peut changer un nombre infini de fois de sens de variation, l'exemple de Blang d'une fractal en ligne brisée rentre dans l'énoncé, et montre que le résultat est faux, non ?
@Noflah:
Regarde bien à la fin du fil, dans son message perroquet précise la définition de "strictement monotone par morceaux" :
"ce qui signifie que [0,1] est la réunion d'une famille finie de segments sur lesquels la restriction de f est strictement monotone"
Bon, alors une piste :
C'est peut être une façon étrange de procéder mais : soit 
une subdivision adaptée à f (telle que f soit strictement monotone sur chaque intervalle de la subdivision), alors on peut montrer le résultat par récurrence sur le nombre de points de la subdivision.
Si n=2, alors f est strictement monotone sur [0,1], tout point de [0,1] est solution.
Soit la propriété vrai pour n points, montrons qu'elle l'est pour (n+1) points. (je note la subd : 0=a0 < a1 < ... < an=1)
En considérant les intervalles , on considère g = f sur tout intervalle de la subdivision sauf ces deux là, et sur ces deux la on définit g comme étant la droite joignant f(a(n-2)) à f(1).
Si f(a(n-2)) = f(1) alors toutes les valeurs prises sur les deux intervalles considérés le sont deux fois (sauf le sup que je traite après), on peut appliquer l'hypothèse de récurrence (forte) au (n-2) précédents points, il existe une valeur prise un nombre impair de fois, éventuellement +2 s'il est dans l'image des deux intervalles considérés, ce qui reste impair, donc c'est bon.
Si manque de pot cette valeur prise un nombre impair de fois sur les (n-1) intervalles précédents est celle atteinte comme extremum (i.e f(a_(n-1)) ) euh ... et bien la je bloque. Mais sinon :
On applique l'hypothèse de récurrence à g, dont la subdivision n'a que n points, et il est simple de montrer que les valeurs prises par g sur sa dernière subdivision correspondent aux valeurs prises par f sur l'une des deux dernières subdivision, mais pas les deux !
De là, si la valeur y qui est prise un nombre impair de fois par g est prise par g dans sa dernière subdivision, alors elle sera prise par f soit sur sa dernière soit son avant dernière subdivision et l'imparité est donc conservé. Si y n'est pas une valeur prise par g sur sa dernière subdivision, alors cette valeur ne sera soit pas prise par f sur ses deux dernières subdivision, soit prises deux fois (sauf encore une fois cas du sommet !!! Il faut absolument que je trouve comment traiter ce cas du sommet ...).
Je pense que le raisonnement est juste, encore faut-il que l'on puisse régler le cas du sommet à chaque fois (graphiquement c'est évident que si cette valeur ci est prise un nombre pair de fois, une autre l'est aussi), mais cela reste une drôle de façon de procéder je pense. Je ne sais pas comment tu as fait Onoff, sûrement plus simplement.
Merci pour ta réponse, Noflah.
Effectivement, le cas des sommets est embêtant
D'autre part :
De là, si la valeur y qui est prise un nombre impair de fois par g est prise par g dans sa dernière subdivision, alors elle sera prise par f soit sur sa dernière soit son avant dernière subdivision et l'imparité est donc conservé.
J'ai peut-être mal compris mais il me semble que tu oublies aussi le cas où la valeur prise un nombre impair de fois par g est
Ma solution n'utilise pas de récurrence.
Ma solution n'utilise pas de récurrence.
Je me doute que la récurrence n'est pas le mieux. Je veux bien voir ta solution.
J'ai peut-être mal compris mais il me semble que tu oublies aussi le cas où la valeur prise un nombre impair de fois par g est f(an), non ?
f(an)=f(1), oui c'est le même problème qu'aux sommets. Bref solution bancale ^^
Ok, je posterai ma solution vendredi soir, histoire de laisser encore un peu de temps à ceux que la question intéresse.
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