Bonjour,

Il fut un temps où on savait calculer "à la main".
Et c'était sûrement le cas d'Archimède.

Si j'ai bonne mémoire, Archi a estimé la valeur de Pi à partir de polygones à 96 cotés ... et a mis le temps qu'il fallait pour faire les calculs nécessaires.

On montre facilement que :

   (1)

En connaissant cos(Pi/3) = 1/2
et on utilisant plusieurs fois ... on peut trouver successivement les valeurs de :
cos(Pi/6), cos(Pi/12), cos(Pi/24), cos(Pi/48) et cos(Pi/96)

Et c'est assez pour l'estimation faite par Archi ...

On tire, à partir de la valeur trouvée (à la main avec la patience qui va avec) de cos(Pi/96), les valeurs de sin(Pi/96) et tan(Pi/96)

Et remis dans l'expression (1) (avec n = 96), il vient :

3,14103... < Pi < 3,14271...

C'était probablement vers cela que Archi a du arriver.
... un peu long évidemment (mais sans la moindre vraie difficulté) pour le demander en classe en exigeant de ne pas utiliser de calculette.

Merci candide2 pour ces explications.
Oui pour les 96 côtés.
Pourquoi ne pas évoquer dans l'exercice cette technique ou une autre qui permettait de faire les calculs avec les moyens de l'époque ?
Sans pour autant demander de les utiliser
Je trouve vraiment artificiel de vouloir mélanger histoire antique et programmation.

bonjour,

je trouve un peu gênant de calculer des fonctions trigo valant à très peu de chose près 0 (sin et tan) pour les multiplier par n et obtenir d'énormes imprécisions sur le résultat .
il vaut mieux intégrer directement la multiplication par n dans le calcul pour obtenir directement la récurrence sur les périmètres

la méthode du Lebossé Hémery de 1ère ed 1962, sans fonctions trigo avec uniquement Pythagore. aboutit à des racines carrés de racines carrés, de même si on utilise les formules trigo des angles moitié

il est plus difficile de dénicher dans la littérature et sur le Web des formules de récurrence bien plus simples :
avec les notation s de l'exo sur les suites u_n (périmètre inscrit) et v_n (périmètre cironscrit)


ce qui se programme facilement dans un tableur :


la démonstration de ces formules se trouve par exemple ici
mathkang
(il reste à notre charge d'intégrer la multiplication par n dans les formules de l'article)

Bonjour ,
En son temps javais participé à une détente identique en calculant
les périmètres des polygones réguliers inscrits avec Pythagore  pour les cotés.