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Niveau première
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Nombre premier

Posté par
Houssam1998
19-09-15 à 21:45

Bonjour tout le monde,
Je travaillais des exercices à propos des nombres premiers, quand je suis tombé sur celui-ci:
Trouver les valeurs des nombres entiers relatifs p et q pour que le nombre A=2p2+5pq+q2 soit premier.
J'ai beau essayé de donner des conditions pour p et q, mais je trouve toujours que ces conditions sont nécessaires et non pas suffisantes pour que A soit un nombre premier.
Par exemple; p et q doivent être premiers entre eux, q ne peut pas être un nombre pair...
Merci d'avance!

Posté par
Houssam1998
re : Nombre premier 20-09-15 à 12:00

Y a-t-il qqn qui puisse me donner une idée?

Posté par
Alishisap
re : Nombre premier 20-09-15 à 22:14

Bonjour,

je ne suis pas allé jusqu'au bout, mais à mon avis on peut factoriser A.

Par exemple, comparez A avec \left(\dfrac{5}{2}p+q\right)².

Posté par
Alishisap
re : Nombre premier 20-09-15 à 22:52

Quoique, on peut montrer que A ne peut pas s'écrire sous la forme :

A=(\alpha p+\beta q)(\gamma p + \delta q)

p;q;\alpha;\beta;\gamma;\delta sont des entiers.

Donc je ne suis pas sûr qu'une telle factorisation soit très pertinente.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Nombre premier 20-09-15 à 23:06

Bonjour,

on se demande à quoi diable pourrait bien servir une factorisation dans Q[X,Y] ...
surtout qu'il n'y en a pas ...

une liste de couples p, q qui donne des nombres premiers :
p = 2, q = 1, n = 19
p = 2, q = 3, n = 47
p = 2, q = 5, n = 83
p = 2, q = 7, n = 127
p = 2, q = 9, n = 179
p = 2, q = 11, n = 239
p = 2, q = 13, n = 307
p = 2, q = 15, n = 383
p = 2, q = 17, n = 467
p = 2, q = 21, n = 659
p = 2, q = 25, n = 883

p = 4, q = 1, n = 53
p = 4, q = 3, n = 101
p = 4, q = 5, n = 157
p = 4, q = 9, n = 293
p = 4, q = 11, n = 373
p = 4, q = 13, n = 461
p = 4, q = 15, n = 557
p = 4, q = 17, n = 661
p = 4, q = 19, n = 773
p = 4, q = 23, n = 1021
p = 4, q = 27, n = 1301
p = 4, q = 29, n = 1453

p = 6, q = 1, n = 103
p = 6, q = 7, n = 331
p = 6, q = 11, n = 523
p = 6, q = 13, n = 631
p = 6, q = 23, n = 1291
p = 6, q = 25, n = 1447
p = 6, q = 29, n = 1783
...

(par force brute)

comme on peut le conjecturer il semble nécessaire que p soit pair
et que "souvent " q est premier

mais on voit sur cet exemple qu'il y a des solutions avec q pas premier (en rouge) et que cette condition est loin d'être suffisante (des q premiers ne donnent pas forcément f(p,q) premier)
pour un p donné, les valeurs de q qui donnent un nombre premier semblent "erratiques" (à part impair comme tu l'as dit, rien ne permet de prédire les q qui donneront f(pq) premier)
phénomène qui est tellement fréquent avec les problèmes sur les nombres premiers qu'on pouvait s'y attendre dès le départ.


bref exo de peu d'intérêt si on ne sait pas où on veut en venir
un algo pour obtenir des p, q ?
des conditions nécessaires ?
va savoir ce qu'attend un prof qui aurait posé cette question, si tant est qu'il s'agisse bien d'un exo....

on pourrait imaginer de chercher à prouver ce qu'on a comme conjecture : il est nécessaire que p soit pair.
de toute façon on ne risque pas d'aller plus loin que p pair et q impair PGCD(p,q) = 1 comme condition nécessaire

Posté par
carpediem
re : Nombre premier 26-03-22 à 15:27

salut

on peut remarquer que 2p^2 + 5pq + q^2 = (p + q)^2 + 3pq + p^2 = (p + q)(p + q + 1) + 2pq

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Nombre premier 26-03-22 à 15:53

Bonjour,
On réveille un vieux sujet
(p+q)(p+q+1) + 2pq me semble louche.

Posté par
carpediem
re : Nombre premier 26-03-22 à 18:09

ouais je cherchais pour l'autre et je suis tombé sur celui-là ...

effectivement 2p^2 + 5pq + q^2 = (p + q)(2p + q) + 2pq

ce qui ne fait finalement pas avancer le schmilblick !!



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