Bonjour,
la plus connue sans doute consiste à le faire par l'absurde.
Mais √a est parfois rationnel. Si a=4 par exemple.

Un appercu de  la demarche s'il te plait par exemple prenons √6

Prenons plus simple: √2
Si  √2 était rationnel, on pourrait l'écrire a/b avec a et b premiers entre eux.
On aurait alors a²/b²=2 et donc a²=2b²
a² serait donc pair.
Or, si a² est pair, alors a est pair (à démontrer si pas évident).
a² est donc multiple de 4
b² est donc pair
b est donc pair
en contradiction avec a et b premiers entre eux

Bonjour,
On peut facilement remplacer 2 par 6 dans la démonstration de sanantonio312 (que je salue au passage ).

Bonjour Sylvieg,
Je dois être partisan du moindre effort

Quand je dis "facilement", une seule ligne est à modifier :
On aurait alors a²/b²=6 et donc a²=6b²

J'ai trouvé ceci qui peut être intéressant
Permet peut-être de démontrer n irrationnel à partir de x²-n = 0 .

Bonjour
Il y a aussi un argument que j'aime bien concernant la racine n-ième d'un entier :

Dans la décomposition en facteurs premiers d'un entier, on a le produit d'un certain nombre de nombres premiers mis à une certaine puissance, et ce de façon unique à l'ordre près des facteurs.

Un entier à la puissance   ne comporte alors que des puissances qui sont des multiples de k.

Par suite l'équation en a et b : , qui est équivalente dans à ne peut avoir de solution que si et seulement si p se décompose en produit de nombres premiers avec des puissances multiples de k.

Donc l'équation n'a pas de solution et est irrationnel.

Bonjour jsvdb
Oui, utiliser la décomposition en facteurs premiers est le plus adapté.

sanantonio312
Merci

De rien. J'ai fait au plus simple.
Il y a même un roman sympa dans lequel on la trouve. Il faut que je m'en remémore le titre...
Les autres démos ont l'avantage d'être plus générales.

D'accord.  Merci également à vous autres qui avez participé à l'explication

C'est pas un roman japonais ?

La formule préférée du professeur de Yôko Ogawa ?

Non, j'ai retrouvé.
C'est "Le théorème du perroquet" évoqué par Wikipédia ici:

D'accord, je connais aussi
Celui que j'ai cité n'est pas mal non plus
Le résumé n'évoque pas assez le fils de l'aide ménagère. Pourtant son devenir est émouvant.

Je vais la chercher... Merci

salut

pour généraliser l'idée de jsvdb et sans raisonner par l'absurde :

si on peut raisonner sur la valuation de n suivant un diviseur premier de n judicieusement choisi ...

Bonjour,
Et pour celui là : demonstration qu'un nombre appartient à Q ?
En fait le titre est faux : Il s'agit de démontrer que n'appartient pas à .
Niveau seconde

Finalement, pourquoi pas niveau seconde.

Oui, maintenant c'est demandé en seconde