Bonjour quand même

En admettan que et :



2)





a pour solution ou

Si , et si on ne peut donc retenir qu'un seul cas

et

Je te laisse conclure


Jord

Bonsoir
1)
X=U+V
tu reportes dans X^3-6X-6=0
(U+V)^3 -6(U+V) -6 = 0
en appliquant U^3+V^3=6 et UV=2
tu vas obtenir 0=0

2) tu sais résoudre X²-6x+8=0
d'ou U^3+V^3=2+4=6, (UV)^3=(2)^3, on est donc dans le cas du 1)
la solution de l'équation donnée est donc U+V
U+V= (4)^(1/3) + (2)^(1/3)

Bonjour Nightmare

Il se produit de temps en temps des télescopages de réponses. Ne peut-on rien y faire ?

Bonnes Fêtes
A+

salut
1.on veut montrer que (U+V) est solution de l'equation proposée.
on calcule (U+V)^3-6*(U+V)-6=A.
developpons A.
A=U^3+V^3+3U^2V+3UV^2-6(U+V)-6=U^3+V^3+3*U*V(U+V)-6(U+V)-6.

or U*V=2 et U^3+V^3=6 donc A=0.
donc U+V est solution de ton equation.

2.X^2-6X+8=0
discriminant 36-32=4
donc X=2 ou X=4.
ici X+Y=6 et XY=8 donc X et Y sont solutions de l'equation suivante (Z^2-(X+Y)*Z+X*Y=0 c'est a dire Z^2-6*Z+8=0)

donc (X=2 et Y=4) [ou (X=4 et Y=2)]

U^3=2 et V^3=4 ou U^3=4 et V^3=2

3.comme U et V jouent des roles symetriques ici, pour trouver une solution reelle. peu importe le choix de U^3 et de V^3.Par exemple on va prendre U^3=2 et V^3=4
on prend U=2^(1/3) et V=4^(1/3)

on a : U^3+V^3=6. UV=2^(1/3)*4^(1/3)=(2*4)^(1/3)=8^(1/3)
donc UV=2.

d'apres 1) U+V=2^(1/3)+4^(1/3) est solution de l'equation X^3-6X-6=0.

c'est une solution reelle.

par contre, la question telle qu'elle est posée suppose que cette solution unique. Le probleme est de savoir : l'admet-on ou faut il le demontrer ?
une possibilite pour le demontrer mais calculatoire (a cause des radicaux)
U+V solution de X^3-6X-6=0.

algorithme d'Horner :

     1    0    -6           -6

U+V

     1   U+V   (U+V)^2-6     0

donc X^3-6X-6=(X-(U+V))*(X^2+(U+V)*X+(U+V)^2-6)
comme UV=2
X^3-6X-6=(X-(U+V))*(X^2+(U+V)*X+U^2+V^2-2)

si on regarde cette equation :
X^2+(U+V)*X+U^2+V^2-2=0
on calcule son discriminant :
(U+V)^2-4*(U^2+V^2-2)=-3U^2-3V^2+12
et en remplacant par les valeurs de U et de V on remarque que ce discriminant est negatif.
donc X^2+(U+V)*X+U^2+V^2-2=0 n'a pas de solution dans R.
il n'existe donc qu'une solution reelle : 2^(1/3)+4^(1/3).

une autre methode est l'etude sur R de f(x)=x^3-6x-6
tableau de variations, dichotomie,... on arrive au fait que f(x)=0 n'admet qu'une solution reelle.

p.s.derriere cet exo se cachent les formules de Cardan.
formule qui permettent a coup sur de trouver les solutions (reelles on non) d'une equation du troisieme degre.Et ces formules sont vues... en deug ou en prepa!

a+

lol effectivement takhasys , mais c'est plutot bon signe qu'autre chose . Mieux vaut 2 réponses plutot que 0


jord

Salut takhasys

En effet, des 'télescopages de réponses' ont souvent lieu...

Mais cela n'est pas gênant en soit : Parfois, les réponses se complètent, d'autres fois elles mettent en oeuvre des techniques différentes...

Ensuite, tout dépendra de ce qu'en fera celui qui a eu tant de réponses...

Du moment que personne ne le prend pour une attaque personnelle (du genre 'mais qu'est-ce que qu'elle avait, ma réponse, pour qu'il veuille en rajouter une couche ?') (ou alors du genre quelqu'un qui donne une solution détaillée alors que tu viens simplement de poster une petite indication et que tu voulais que l'internaute cherche par lui-même...)

Ne crois pas que ce soit une perte de temps: il y aura toujours un lecteur qui se dira 'mais, oui, il y avait cette méthode aussi...'

@+
Emma

merci pour toues ses réponses