Niveau première

Nombres de Fermat

Posté par
Arnaud_G 22-10-12 à 15:35

Bonjour à tous.

Petite question sur un exercice traitant des nombres de Fermat.

On a  :

$x + 1   |  x^m + 1$

si   $m = 2n + 1$

(suite géométrique alternée de raison x ...)

Si on prend x = 2, alors on a bien $3   |   2^m + 1$ .

En déduire que si m n'est pas une puissance de 2, alors $2^m + 1$ n'est pas premier.

Bon, voilà ce que je sais déjà :

Si m n'est pas une puissance de 2 et impair (ex : 5) et alors $2^m + 1$ est multiple de 3, donc non premier. C'est réglé pour ceux-ci.

Le problème, c'est les nombres pairs qui ne sont pas une puissance de 2 : ex : 10

Comment prouver alors que $2^m + 1$ n'est pas premier ?

Merci !

Posté par re : Nombres de Fermat 22-10-12 à 15:39

Bonjour

Si m n'est pas une puissance de 2, on peut écrire $m=2^kq$ avec $q$ impair strictement plus grand que 1.

Je te rappelle que si $q$ est impair, on a

$a^q+b^q=(a+b)(a^{q-1}-a^{q-2}b+...+b^{q-1})$

(tu connais certainement cette formule pour q=3, si tu ne l'as pas dans le cas général, on la prouve très facilement en développant)

Posté par re : Nombres de Fermat 22-10-12 à 15:42

Bonjour :
(2²)⁵ + 1 = ...

de façon générale si m = 2^a k, k impair
2^m = (2^a)^k + 1 etc

Posté par re : Nombres de Fermat 22-10-12 à 15:55

MErci. C'est loin pour moi ces cours d'arithmétique !

Donc j'ai

${2^{2^k q}} + 1 = {(2^{2^k})}^{q} + 1 = (2^{2^k} + 1 ) (...)$

Posté par re : Nombres de Fermat 22-10-12 à 16:02

C'est cela même.

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