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Nombres dérivés

Posté par
Undien
28-10-22 à 17:39

Bonjour, voici l'énoncé de mon exercice :
Soit f et g les fonctions ]0;+∞[ par
f(x)= -1/x                         et            g(x)= x²-x-1

On donne ci-contre les représentations Cf et Cg.
Montrer que les courbes Cf et Cg ont un point commun au point d'abscisse 1.

Alors, j'ai vu sa représentation graphique (des 2 courbes) sur GeoGebra et oui, il y  a bien un point d'intersection à x=1.
Cependant, comment prouver ?
Avec un système ? Impossible, j'ai un résultat où je ne peux pas utiliser de discriminant comme j'ai un -1 à la fin...
Merci d'avance si vous me répondez.

Posté par
Pirho
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 17:44

Bonjour,

si si ça marche, montre un peu le système que tu as à résoudre

Posté par
Mateo_13
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 17:45

Bonjour Undien,

remplace x par 1 dans les deux formules de fonctions et observe le résultat.

Cordialement
--
Mateo.

Posté par
Undien
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 18:12

Pirho @ 28-10-2022 à 17:44

Bonjour,

si si ça marche, montre un peu le système que tu as à résoudre


Eh bien j'ai fait j'ai fait {y= -1/x
                                                  {y = x² - x - 1
équivaut à
                                                   {-1/x = x² - x - 1
                                                   {y = x²- x - 1
pour la partie -1/x = x² - x - 1 :
<=> -1 = x3 - x² - x
<=> 0 = x3 - x² - x + 1

Le souci, c'est que je m'attendais à avoir un polynôme du 2nd degré pour faire un discriminant ou au moins avoir un équation du 3ème degré puis faire une identification des coeffs, mais là je suis bloqué ducoup.

Posté par
Undien
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 18:12

Mateo_13 @ 28-10-2022 à 17:45

Bonjour Undien,

remplace x par 1 dans les deux formules de fonctions et observe le résultat.

Cordialement
--
Mateo.

On a le droit de faire ça ?
Je vais essayer, merci.

Posté par
carpediem
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 18:28

salut

on peut remarquer que x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(...) - (...)

Posté par
Pirho
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 18:35

au temps pour moi, on ne demandait pas de calculer les coordonnées des points d'intersection mais uniquement

Citation :
Montrer que les courbes Cf et Cg ont un point commun au point d'abscisse 1.

écoute plutôt le conseil de Mateo_13

je vais quand même répondre à ta question  bien que ce qu'on te demande c'est de vérifier....

Citation :
Le souci, c'est que je m'attendais à avoir un polynôme du 2nd degré pour faire un discriminant ou au moins avoir un équation du 3ème degré puis faire une identification des coeffs, mais là je suis bloqué ducoup.


on obtient une équation du 3e degré qu'on ne résout pas avec un discriminant. Par contre en factorisant ça marche

Posté par
Pirho
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 18:36

remarque : tu as multiplié par x , oui mais x doit être différent de 0

Posté par
Undien
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 18:42

Pirho @ 28-10-2022 à 18:36

remarque : tu as multiplié par x , oui mais x doit être différent de 0


Dans l'intervalle des 2 fonctions, 0 et exclu.

Posté par
littleguy
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 18:43

Bonjour à tous.

> Pirho
L'énoncé dit :  

Citation :
Soit f et g les fonctions ]0;+∞[

On peut imaginer que Undien a oublié  d'écrire "définies sur".

Posté par
Undien
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 18:45

Pirho @ 28-10-2022 à 18:35

au temps pour moi, on ne demandait pas de calculer les coordonnées des points d'intersection mais uniquement
Citation :
Montrer que les courbes Cf et Cg ont un point commun au point d'abscisse 1.

écoute plutôt le conseil de Mateo_13

je vais quand même répondre à ta question  bien que ce qu'on te demande c'est de vérifier....

Citation :
Le souci, c'est que je m'attendais à avoir un polynôme du 2nd degré pour faire un discriminant ou au moins avoir un équation du 3ème degré puis faire une identification des coeffs, mais là je suis bloqué ducoup.


on obtient une équation du 3e degré qu'on ne résout pas avec un discriminant. Par contre en factorisant ça marche



Ca marche, ducoup en remplaçant les x par 0 pour les 2 fonctions, je tombe sur -1, en utilisant le système, j'ai x=0 et y=0, est ce que cela me permet de vérifier l'énoncé ?

Posté par
Pirho
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 18:45

Bonjour littleguy

oups ce n'est pas la 1ère fois que je me plante en scrollant sur mon smartphone

merci!!

Posté par
Undien
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 18:46

littleguy @ 28-10-2022 à 18:43

Bonjour à tous.

> Pirho
L'énoncé dit :  
Citation :
Soit f et g les fonctions ]0;+∞[

On peut imaginer que Undien a oublié  d'écrire "définies sur".


Autant pour moi

Posté par
Pirho
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 18:56

carpediem @ 28-10-2022 à 18:28

salut

on peut remarquer que x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(...) - (...)



@Undien  : qu'as-tu trouvé?

Posté par
Undien
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 19:01

Pirho @ 28-10-2022 à 18:56

carpediem @ 28-10-2022 à 18:28

salut

on peut remarquer que x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(...) - (...)



@Undien  : qu'as-tu trouvé?


J'ai trouvé que c'est égale à (x+1)(x²+1)

Posté par
Pirho
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 19:05

c'est faux!

rempli "les petits points" dans l'équation de carpediem

Posté par
Undien
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 19:20

Pirho @ 28-10-2022 à 19:05

c'est faux!

rempli "les petits points" dans l'équation de carpediem


J'ai essayé mais je n'ai pas réussi à résoudre malheureusement...
pourrais tu m'expliquer comment procéder si ca ne t'embête pas stp ?

Posté par
Pirho
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 19:22

si tu factorises par  x^2   entre les 2 premiers termes, ça donne quoi?

Posté par
Undien
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 19:34

Pirho @ 28-10-2022 à 19:22

si tu factorises par  x^2   entre les 2 premiers termes, ça donne quoi?


Ah, la c'est plus simple, j'ai :
x²(x-1)-(x-1)

J'espère que c'est bon là?

Posté par
Pirho
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 19:38

oui
continue!

Posté par
Undien
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 19:45

Pirho @ 28-10-2022 à 19:38

oui
continue!


Super, mais avec ce résultat, je suis censé faire quoi ?
(désolé je suis pas une flèche ^^)

Posté par
carpediem
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 19:51

en l'absence de

Pirho @ 28-10-2022 à 18:35

Par contre en factorisant ça marche

Posté par
Undien
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 19:56

Undien @ 28-10-2022 à 19:45

Pirho @ 28-10-2022 à 19:38

oui
continue!


Super, mais avec ce résultat, je suis censé faire quoi ?
(désolé je suis pas une flèche ^^)

je suis pas sûr, mais j'ai trouvé x²(x-1)-(x-1) = (x-1)(x²-1)
ducoup on a :
x-1 = 0 ou x²-1 =0
x = 1             x= 1

Est ce que c'est bon ?
Avec ca, si on remplace les x par 1, dans mon système j'ai :
{x=0
{y=-1
A savoir qu'après vérification sur GeoGebra, le point d'intersection a bien pour ordonnée -1.

Posté par
carpediem
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 20:05

ok mais il faut factoriser jusqu'au bout !!

ne reconnais-tu rien dans la deuxième parenthèse ?


si x = 1 comment peux-tu écrire x = 0 ensuite ?

Posté par
Undien
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 20:09

carpediem @ 28-10-2022 à 20:05

ok mais il faut factoriser jusqu'au bout !!

ne reconnais-tu rien dans la deuxième parenthèse ?


si x = 1 comment peux-tu écrire x = 0 ensuite ?

Qu'est ce que je  dois factoriser jusqu'au bout ? De ce que je saches, x²(x-1)-(x-1) = (x-1)(x²-1), c'est le max.

Posté par
Pirho
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 20:42

tu peux encore factoriser le 2ème facteur

Posté par
littleguy
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 20:44

Re-bonjour,

x²-1 = x²-1², de la forme a²-b², etc.

Posté par
littleguy
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 20:45

Pardon Pirho  je te croyais parti. Je vous laisse.

Posté par
Pirho
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 21:15

littleguy @ 28-10-2022 à 20:45

Pardon Pirho  je te croyais parti. Je vous laisse.


no problem!

Posté par
Undien
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 21:22

littleguy @ 28-10-2022 à 20:44

Re-bonjour,

x²-1 = x²-1², de la forme a²-b², etc.


Mais je ne comprend pas pourquoi on fait tous ces factorisations, après ça je suis censé faire quoi ?

Posté par
Pirho
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 22:16

tu obtiendras un produit de facteurs=0

c-à-d une équation "produit nul" à résoudre

Posté par
Undien
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 23:28

Pirho @ 28-10-2022 à 22:16

tu obtiendras un produit de facteurs=0

c-à-d une équation "produit nul" à résoudre

aaaah, tout s'explique, j'essaye ca

Et donc, si j'ai 1 à la fin, cela vérifira l'énoncé ?

Posté par
Pirho
re : Nombres dérivés 28-10-22 à 23:30

oui mais montre nous ton expression finale=0

Posté par
Undien
re : Nombres dérivés 29-10-22 à 10:59

Pirho @ 28-10-2022 à 23:30

oui mais montre nous ton expression finale=0


Ok, ducoup je pars de (x-1)(x²-1)
= (x-1)(x+1)(x-1)
=(x-1)(x+1)

On a ainsi x-1 = 0    ou x+1 = 0
                       x = 1                x = -1
J'ai fais une erreur quelque part ?

Posté par
malou Webmaster
re : Nombres dérivés 29-10-22 à 11:28

Undien @ 29-10-2022 à 10:59

Pirho @ 28-10-2022 à 23:30

oui mais montre nous ton expression finale=0


Ok, ducoup je pars de (x-1)(x²-1)
= (x-1)(x+1)(x-1)
=(x-1)2(x+1) attention, un carré en rade

On a ainsi x-1 = 0 ou x+1 = 0
x = 1 x = -1
J'ai fais une erreur quelque part ?


Posté par
Undien
re : Nombres dérivés 29-10-22 à 11:43

malou @ 29-10-2022 à 11:28

Undien @ 29-10-2022 à 10:59

Pirho @ 28-10-2022 à 23:30

oui mais montre nous ton expression finale=0


Ok, ducoup je pars de (x-1)(x²-1)
= (x-1)(x+1)(x-1)
=(x-1)2(x+1) attention, un carré en rade

On a ainsi x-1 = 0    ou x+1 = 0
                       x = 1                x = -1
J'ai fais une erreur quelque part ?




Merci je me suis trompé

Posté par
Pirho
re : Nombres dérivés 29-10-22 à 11:44

@Undien d'où ta solution  est ?

Posté par
Undien
re : Nombres dérivés 29-10-22 à 11:50

Pirho @ 29-10-2022 à 11:44

@Undien d'où ta solution  est ?


Comme les 2 fonctions sont définis sur ]0;+∞[, on ne garde pas x=-1, donc x=1 ?

Posté par
carpediem
re : Nombres dérivés 29-10-22 à 13:15

tout à fait ...

mais l'important quand on arrive à l'équation est de la résoudre complètement
ensuite suivant le contexte de l'exercice on ne garde que telle ou telle solution

Posté par
Undien
re : Nombres dérivés 29-10-22 à 17:25

carpediem @ 29-10-2022 à 13:15

tout à fait ...

mais l'important quand on arrive à l'équation est de la résoudre complètement
ensuite suivant le contexte de l'exercice on ne garde que telle ou telle solution



Ah d'acoord, c'est pour ca qu'on faisait plein de factorisations. Merci beaucoup de votre aide, je m'étais embroullé avec toutes ces transformations et équivalences >.<

Posté par
carpediem
re : Nombres dérivés 29-10-22 à 19:38

de rien



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