Bonjour,

J'ai abominablement "triché" pour tracer l'hyperbole d'Appolonius du point associée à l'ellipse :

On peut la construire en "trichant" moins :

Son centre est aisément constructible. Ses asymptotes (elle est équilatère) sont parallèles aux axes de l'ellipse. Elle passe par (et centre de l'ellipse).
C'est plus qu'il n'en faut.

Une figurer "construite" un peu plus proprement :

  

(la deuxième figure bien sur)
la clé est bien l'hyperbole d'Apollonius

Bonsoir mathafou,

Quelques commentaires :

  - Tout d'abord, merci à toi d'avoir posté ce très joli problème.
  - Merci aussi d'avoir rectifié (sans le dire) mon orthographe défaillante  quant à Apollonius.
  - A 13h37, j'étais encore incapable de déterminer le centre de l'hyperbole (que je savais équilatère avec les asymptotes parallèles aux axes de la conique). J'ai fait avec les moyens du bord (tout à fait déloyaux).
  - Puis j'ai fini par "trouver" en fouinant ce qui a donné la figure de 14h39.
  - Ceci dit, presque tout reste à prouver (calculs ou géométrie synthétique ?)
  - Je m'imagine Apollonius il y a quasiment 2300 ans qui ne disposait pas de nos logiciels de géométrie  dynamique. Comment arrivait-il à ces résultats ? Je suis sans voix ...
   - Sur tes injonctions, je n'ai pas blanqué. Je regrette un peu. Il est probable que d'autres ont cherché ... puis abandonné.
Encore une fois : merci pour tout!

Bonjour,

"inutile de blanker" ne voulait pas dire "interdit de blanker"
de toute façon il reste pas mal de matière :

- adapter ça à une hyperbole et à une parabole.

- traiter les cas particuliers où le point est sur un axe
et donner dans ce cas une construction à la règle et au compas, vu qu'elle existe

les intersections à la règle et au compas d'une conique (définie comme on veut et pas forcément tracée) et d'une droite sont "classiques" et on peut se contenter de dire "les intersections de la droite machin et de la conique" sans préciser comment on les obtient en détail.
pour ceux qui ne connaissent pas, cela fait un problème dans le problème

blanker si vous voulez

Bonjour,

Je ne me lance que pour le plus facile et pour une ellipse de demi-axes  a et b dont les axes sont sur les axes de coordonnées (mathafou : traiter les cas particuliers où le point est sur un axe)

Soit P sur le grand axe et y=b/a*x  diamètres conjugués
La perpendiculaire à l'un des ces diamètres, issue de P, intersecte l'autre en I.
La perpendiculaire au grand axe,issue de I, intersecte l'ellipse en T
le segment PT est normal à l'ellipse.

Bonjour vham
Oui.

dans ce cas, cette traduction directe de la construction générale donne comme "hyperbole" d'Apollonius une paire de droites parallèles aux axes :
ta droite (TI) et l'axe.
son centre milieu de II', I' étant construit comme I mais en échangeant les deux diamètres, est sur l'axe focal



"l'hyperbole" (sic) d'Apollonius est les deux droites vertes

nota : la construction avec la parabole est très simple , mais il vaut mieux ignorer ce qui est fait dans le cas général
indice :

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la sous normale est égale au paramètre

de même pour l'ellipse et un point sur un axe, on peut ignorer ces histoires de diamètres conjugués et utiliser directement que la normale est bissectrice des rayons vecteurs
donc l'intersection des normales et tangentes avec l'axe forment une division harmonique avec les foyers etc...

Bonjour,

--> mathafou  : Ce bravo est un peu volé.
Mes connaissances sur les coniques sont limitées au niveau classes terminales des années 1950 ,  je ne connaissais donc pas l'hyperbole d'Apollonius.
Par curiosité j'ai quand même calculé l'abscisse du point T (par le produit des pentes de la normale et de la tangente égal à -1)
Les questions posées par mathafou ayant toujours une solution "de simplicité",
j'ai un peu tâtonné en "essayant" des droites issues de P.  j'ai alors retrouvé l'abscisse calculée de T en I,  par l'intersection avec y=b/a*x  de la perpendiculaire à y=-b/a*x
Mais est-ce de la "bonne" géométrie  ?

J'ai bien sûr vu ensuite que c'était le cas où l'hyperbole se réduisait à 2 droites perpendiculaires

Bonjour,

Une adaptation à l'hyperbole ("presque la même" figure) :

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Oui,

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la projection sur les asymptotes est la clé pour obtenir rapidement le centre et des points de l'hyperbole d'Apollonius :
K, L, A, C le centre et les asymptotes, c'est plus qu'il n'en faut pour définir cette hyperbole.

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l'ellipse est ici définie par foyer F' et cercle directeur (centré sur l'autre foyer F)
les seules connaissances requises sur les ellipses sont, en plus de cette définition :
tangente P₁P' et normale P₁P sont les bissectrices des rayons focaux P₁F, P₁F'
par conséquent la division (F, F', P, P') est harmonique (pas spécifique aux coniques mais général sur les bissectrices)
on peut donc construire (classique) le conjugué P' de P par rapport à F et F'
après quelques homothéties pour le prouver, on aboutit à tracer le cercle de centre P' passant par F'
il coupe le cercle directeur en M₁
et P₁ est l'intersection de FM₁ et de la médiatrice de F'M₁ (construction classique des points d'une ellipse)

c'est un peu plus compliqué que la construction via les diamètres conjugués symétriques, mais ne nécessite que des connaissances de base sur la géométrie des coniques.

Bonjour,

Merci à mathafou et lake de nous donner le plaisir de visiter (re-visiter) ces démonstrations géométriques. Pour certains c'est comme un bain de jouvence.

Bonjour,

Tant qu'à faire, le cas parabole :

  

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Avec deux points et de la parabole symétriques par rapport à son axe qui donnent immédiatement les points et et le centre :

  

Ceci est encore une adaptation sauvage de la construction générale

je proposais de partir des bases des propriétés spécifiques de la parabole :

Bonjour,
Un complément dans le cas parabole où apparaît le cercle de centre passant par son sommet (complément que je dois à l'ami pappus ici : Normales à une parabole (CAPES))