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Officiel de la Taupe 2018: Mines-Ponts PC 108-I

Posté par
perroquet
01-02-18 à 22:11

Voici l'énoncé

Citation :

Ensemble de définition D de F(x)=\int_0^{+\infty} \frac {{\rm Arctan}(xt)}{t(1+t^2)} dt.
Montrer que F est C^1 sur D et calculer explicitement F'
(on pourra chercher a et b réels tels que   \frac{1}{(1+t^2)(1+x^2 t^2)} = \frac{a}{1+t^2} +\frac{b}{1+x^2 t^2})
Calculer F sur D.
Montrer que \int_0^{+\infty} \left( \frac{{\rm Arctan}\, t}{t} \right)^2 dt converge et calculer sa valeur.


Commentaire: un exercice très classique, formateur

Je rappelle que je ne demande pas d'aide sur cet exercice. Le but, c'est le plaisir de chercher, de trouver, de rédiger une démonstration élégante ...
Les étudiants en prépa pourront y trouver un entraînement aux concours (mais je pense qu'ils ont déjà de quoi faire).
Blankez vos réponses s'il vous plaît.
Je posterai une solution dans environ une semaine.

Posté par
lake
re : Officiel de la Taupe 2018: Mines-Ponts PC 108-I 02-02-18 à 11:56

Bonjour,

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Posté par
lake
re : Officiel de la Taupe 2018: Mines-Ponts PC 108-I 02-02-18 à 13:09

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Posté par
lake
re : Officiel de la Taupe 2018: Mines-Ponts PC 108-I 03-02-18 à 10:12

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Posté par
perroquet
re : Officiel de la Taupe 2018: Mines-Ponts PC 108-I 03-02-18 à 16:22

Bonjour, lake

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Posté par
lake
re : Officiel de la Taupe 2018: Mines-Ponts PC 108-I 03-02-18 à 20:55

Bonsoir perroquet,

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Posté par
perroquet
re : Officiel de la Taupe 2018: Mines-Ponts PC 108-I 09-02-18 à 23:33

Bonjour.
Voici une solution.

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Posté par
lake
re : Officiel de la Taupe 2018: Mines-Ponts PC 108-I 10-02-18 à 10:18

Merci perroquet pour cette planche et sa solution

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