Ensemble de définition de
Pour
,
est évidemment défini.
Pour
:
est continue sur
et
est intégrable sur
et
est intégrable sur
On en déduit que
est intégrable sur
et donc que
est défini.
Donc
On montre que est de classe sur
Appliquons le théorème de dérivation d'une intégrale dépendant d'un paramètre à
Pour tout
de
,
est continue par morceaux sur
, intégrable sur
(on vient de le voir).
existe sur
avec:
Pour tout
de
,
est continue sur
.
Pour tout
de
,
est continue par morceaux sur
.
est continue par morceaux sur
, intégrable sur
On déduit du théorème de dérivation d'une intégrale dépendant d'un paramètre que est de classe sur avec:
Calcul de
Rappelons que la décomposition en éléments simples n'est pas au programme de PC, ce qui explique l'indication de l'énoncé. On n'utilisera donc pas non plus les méthodes classiques pour décomposer en éléments simples.
On a:
Donc, pour
:
Et, pour
dans
:
L'égalité ci-dessus reste vraie pour
, par continuité de
et
.
Pour déterminer
lorsque
est négatif, on remarque que
est paire (regarder l'expression de
).
Calcul de F
Puisque
Existence et calcul d'une intégrale:
On applique le théorème d'intégration par parties aux fonctions
et
définies sur
par:
et
et
sont de classe
sur
et
existent et sont finies (les deux limites sont nulles).
. Donc,
converge (elle vaut
).
D'après le théorème d'intégration par parties: