On suppose pour le moment la fonction continue et bijective :
Soit
une telle fonction.
est strictement monotone et a des limites à ses bornes, l'une est
, l'autre
.
La valeur
n'est jamais atteinte car si elle est atteinte pour un certain
alors pour tout
( ou
suivant la borne ) la fonction est nulle et c'est contraire aux hypothèses.
Ainsi si
est continue alors elle n'est pas bijective, elle admet donc au moins un point de discontinuité.
Soit
. Supposons que
ait un nombre fini de points, tous distincts, de discontinuité
:
est monotone sur chaque restriction de
entre (strictement) deux points de discontinuités consécutifs.
Or
(où
est la limite de
à la borne infinie ayant une limite finie (elle est différente des
) ) car par hypothèse
.
(Les crochets portent sur tout l'ensemble)
Or l'application
est surjective donc
n'est pas bijective, et en déduit que
ne peut être discontinue en un nombre fini de points.
Donc si
est bijective de
dans
elle admet
un nombre infini de points de discontinuités.
J'espère que c'est juste pour une fois ^^ Merci pour la planche.