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Voici une méthode un peu laborieuse pour la bornitude (perroquet doit avoir beaucoup plus astucieux) :

Je ne détaille pas tout volontairement mais s'il y a besoin de précisions je pourrai compléter mon post. Tout ce qui suit se montre par des récurrences immédiates :

On a de la forme où P et Q sont des polynômes en de degrés majoré par n² (on peut même les calculer explicitement, si ça intéresse quelqu'un ) et dont les coefficients n'excède pas strictement les degrés des monômes correspondant.

Ainsi on peut majorer .

Et cette dernière somme converge car c'est la dérivée d'une série géométrique.

Donc est bornée par un réel positif M.

Ensuite on écrit .

Comme la série de terme général converge (car ) par comparaison la série de terme général est absolument convergente.

Par télescopie on en déduit que la suite converge.

Sauf erreur

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Comme la série converge alors la suite aussi. Et comme la suite converge alors elle est bornée.

(J'ai vu ça il y a quelques temps dans un poste d'infophile, il me reste à le démontrer et ça n'a pas l'air simple ..
A moins que ce soit une propriété du cours de spé et donc qu'on puisse balancer le résultat directement ??)

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Attention ceci n'est valable que dans le cas réel, voici l'énoncé auquel tu fais référence : et mon devoir : .

C'est très bien de l'avoir retenu, par contre il faut éviter de capulter ça à un oral ça risque d'être mal vu (à moins que tu saches le redémontrer, et encore ça dénature l'exo, disons qu'après l'avoir résolu sans le court-circuite tu peux à la limite te payer le luxe de faire la remarque à l'examinateur, mais balancer le résultat d'emblée pour trivialiser l'exo ça fait mauvais effet )

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Et ce résultat n'est pas au programme, c'est tiré d'un de mes DM. Attention aux hypothèses, ici on est sur un -ev de dimension finie, donc il ne s'applique pas.

D'ailleurs j'ai oublié de préciser que ce qui fait marcher la convergence c'est le fait que E soit complet (car de dimension finie) donc l'absolue convergence de la série implique sa convergence.

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Ah mince, bon, il me reste tout à démontrer . Certaines questions du sujet ont l'air faisable en sup, j'essaierais d'en faire une petite partie et merci pour le conseil

Je viens de retrouver le topic , Détermination de suites.

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C'est vrai que dans le topic je n'avais pas précisé les hypothèses donc c'est ma faute

Cet exo est faisable en sup mis à part les justifications de convergence des séries, donc tu peux quand même chercher les astuces si ça te dit

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Une partie de tes affirmations sur les polynômes P et Q est fausse  (les coefficients ne sont pas majorés par le degré du monôme correspondant, j'ai vérifié avec Maple pour u_22 avec u_0=u_1=1).

Comme l'a très bien remarqué olive_68, le sujet de Centrale 1997 donne une solution très élégante, et celle que j'ai trouvée est moins jolie

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Toutes mes félicitations. Le topic d'infophile (ou le sujet de Centrale-Supélec 1997 MP) donne une solution très élégante de l'exercice.
Je connais assez bien ce sujet de Centrale puisque je l'ai donné plusieurs fois en DST, mais je n'y ai pas pensé.
Ceci dit, je te déconseille d'essayer de faire ce sujet cette année. Il est vraiment préférable d'avoir suivi un cours sur les séries auparavant.