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Optimisation
Bonjour, je bug sur un exercice de maths, quelqu'un pourrait m'aider ? Merci d'avance, voici l'énoncé :
Un cycliste effectue un aller-reour entre deux villes A et B. A l'aller, sa vitesse est de 20km/h ; au retour, elle est de x km/h.
Soit V(x) sa vitesse moyenne sur l'ensemble de son parcours.
1. Exprimer V(x) en fonction de x et montrer que V(x)=40-[800/(x+20)].
2. Etudier le sens de variation de la fonction v sur ]0;+oo[ et la représenter graphiquement.
3. Montrer que, pour tout x>0, v(x)<40
4. La fonction v admet-elle un maximum sur ]0;+oo[ ?
Soit t1(en heure) le temps du voyage aller et d (en km) la distance entre les 2 villes.
On a: d = 20.t1
t1 = d/20
Soit t2(en heure) le temps du voyage retour.
On a: d = x.t2
t2 = d/x
Le temps t total du parcours est t1 + t2.
t = d/20 + d/x
Avec V la vitesse moyenne sur la distance aller retour (de 2d), on a:
2d = V.t
2d = V.(d/20 + d/x)
2 = V.(1/20 + 1/x)
2 = V(x+20)/(20x)
V = 40x/(x+20)
V = (40x + 800 - 800)/(x+20)
V = (40(x+20) - 800)/(x+20)
V = 40 - [800/(x+20)]
V(x) = 40 - [800/(x+20)]
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Comme la foncion 1/x est décroissante sur R- et sur R+
V(x) est décroissante sur ]0 ,;oo[
On peut aussi étudier les variations de V(x) en étudiant le signe de V'(x)
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Comme V(x) est strictement croissante, Il n'y a pas de maximum de V(x) dont le sens "max d'une fonction".
La vitesse moyenne tend vers une valeur maximum pour x -> oo, On a lim(x-> oo) Vmax = 40, soit 40 km/h
On remarquera que cela correspond à une vitesse qui tend vers l'oo sur le trajet de retour et donc ...
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Sauf distraction. 
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