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orthogonalite 1
bonjour à tous j'aimerais que vous m'aidiez à résoudre un exercice.
soit ABCDEFGH un cube de centre O et I,J,K,L les milieux respectifs des aretes BC , CG ,EF ,AE
1 demontrer que (OI) est orthogonale à (AD) et à (KL)
2- demontrer que (BG) est orthogonale au plan (EFG)
3- en déduire que les droites (IJ) et (EC) sont orthogonales
4 construire le projeté orthogonal du point L sur le plan
(EFG)
5- construire le projeté ortho gonal du point L sur (BG)
J'ai déjà fait les numéros 1,2 et 3
ce sont les 4 et 5 qui me dérangent
mais je sais qu'il faut d'abord trouver une droite passant par L et perpendiculaire à (EFG) pour le 4
et perpendiculaire à (BG) pour le 5
si vous pouvez me dire c'est droite je ferai moi-meme la démo
si vous pouvez également me donner un résultat avant demain cela me fera très plaisir car le devoir est pour demain
1)
Choix du repère (A ; AD ; AB ; AE)
On a alors:
A(0 ; 0 ; 0)
B(0 ; 1 ; 0)
C(1 ; 1 ; 0)
D(1 ; 0 ; 0)
E(0 ; 0 ; 1)
F(0 ; 1 ; 1)
G(1 ; 1 ; 1)
H(1 ; 0 ; 1)
O(1/2 ; 1/2; 1/2)
I(1/2 ; 1 ; 0)
J(1 ; 1 ; 1/2)
K(0 ; 1/2 ; 1)
L(0 ; 0 ; 1/2)
vecteur(OI) = (0 ; 1/2 ; -1/2)
vecteur(AD) = (1 ; 0 ; 0)
vecteur(OI).vecteur(AD) = 0*1 + (1/2)*0 -(1/2)*0
vecteur(OI).vecteur(AD) = 0
--> les droites (OI) et (AD) sont orthogonales.
vecteur(KL) = (0 ; -1/2 ; -1/2)
vecteur(OI).vecteur(KL) = 0*0 + (1/2)*(-1/2) -(1/2)*(-1/2)
vecteur(OI).vecteur(KL) = 0 - (1/4) + (1/4)
vecteur(OI).vecteur(KL) = 0
--> les droites (OI) et (KL) sont orthogonales.
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2)
vecteur(BG) = (1 ; 0 ; 1)
|vecteur(BG)| = V2 (avec V pour racine carrée).
Equation du plan (EFG): z = 1, un vecteur normal à ce plan est vecteur(V) = (0 ; 0 ; 1) (et |v| = 1)
vecteur(BG) . vecteur(V) = 1*0 + 0*0 + 1*1
vecteur(BG) . vecteur(V) = 1
et aussi: vecteur(BG) . vecteur(V) = |BG| . |V| . cos(alpha) avec alpha l'angle entre les 2 vecteurs.
|BG| . |V| . cos(alpha) = 1
V2 .cos(alpha) = 1
cos(alpha) = 1/V2
Et donc la droite (BG) fait un angle de Pi/4 avec le plan(EFG) --> Erreur d'énoncé ????
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3)
vecteur(IJ) = (1 - 1/2 ; 1-1 ; (1/2)-0)
vecteur(IJ) = (1/2 ; 0 ; 1/2)
vecteur(EC) = (-1 ; -1 ; 1)
vecteur(IJ).vecteur(EC) = -(1/2) + 0 + (1/2)
vecteur(IJ).vecteur(EC) = 0
--> les droites(IJ) et (EC) sont orthogonales.
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4)
Probablement de nouveau erreur d'énoncé ????
Car L milieu de [AE] et (AE) perpendiculaire au plan(EFG) --> on a directement que E est le projeté orthogonal de L sur le plan (EFG).
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5)
vecteur(GL) = (-1 ; -1 ; -1/2)
Un point P de (BG) a pour coordonnées P(a ; 1 ; a)
vecteur(PL) = (a ; 1 ; a-(1/2))
vecteur(BG) = (1 ; 0 ; 1)
vecteur(PL).vecteur(BG) = a + a - (1/2) = 2a - (1/2)
Si vecteur(PL).vecteur(BG) = 0, a = 1/4 et P(1/4 ; 1 ; 1/4)
P est la projection orthogonale de L sur (BG) --> facile à construire.
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Sauf distraction. (et je suis souvent distrait) 
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