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orthogonalité avec produit scalaire et config. du plan

Posté par
j-h83
28-01-12 à 18:25

ABC est le triangle rectangle en A, I et J sont les milieux des côtés [AB] et [AC] et H est le projeté orthogonal de A sur [BC]. On veut démontrer que les droites (HI) et (HJ) sont orthogonales. On va employer plusieurs méthodes, utilisant des outils différents, pour prouver ce résultat.

1) avec le produit scalaire
a) montrer que HB.HC= -AH²
b) en déduire HI.HJ = o, puis conclure

2) Avec les configurations du plan
a) montrer que le cercle circonscrit au triangle AIJ passe par le milieu de [BC]
b) en déduire que H appartient à ce cercle et conclure

3) Avec le théorème de pythagore
a) on note x = AB, Y = AC et z = Bc. Exprimer HI, HJ, IJ en fonction de x, y, z
b) en utilisant le triangle HIJ, conclure
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Je n'arrive pas à prouver l'orthogonalité de HI et HJ à l'aide du produit scalaire ou du plan.
Les questions qui posent problème sont 1) b) et 2) a) b), la réponse à 1) a) étant effectivement HB.HC= -AH²
J'ai essayé de calculer HI.HJ en fonction de AH mais je n'arrive jamais à o.

Merci

Posté par
pgeod
re : orthogonalité avec produit scalaire et config. du plan 28-01-12 à 19:03

2/ b/

HI.HJ
= (HB + BI) . (HA + AJ)
= (HB + BA/2) . (HA + AC/2)
= ...

Posté par
j-h83
re : orthogonalité avec produit scalaire et config. du plan 29-01-12 à 11:33

ok ok, merci, j'ai compris cette question.
Et si non on peut aussi partir de l'égalité vectorielle pour le démontrer ?
c'est à dire HI = 1/2(HB+HA) et HJ = 1/2(HC+HA) et (HI+HJ)² = HI²+2(HI.HJ)+HJ²
HI.HJ = 1/2(HI²+HJ²-(HI+HJ)²)
= 1/2 (HI²+HJ²-HI²-HJ²)
= 0

Par contre comment faire pour la question 2 ?

Posté par
pgeod
re : orthogonalité avec produit scalaire et config. du plan 29-01-12 à 14:25


2) Avec les configurations du plan
a) montrer que le cercle circonscrit au triangle AIJ passe par le milieu de [BC]

les triangles AIJ et ABC sont dans une configuration de Thalès de rapport 2

soit K le milieu de [BC] et O le milieu de [IJ]

O est le centre du cercle circonscrit au triangle AIJ
d'où OA = OI = OJ

K est l'image de O dans l'homothétie de centre A et de rapport 2.
d'où OA = OK

et donc K est sur le cercle circonscrit au triangle AIJ

Posté par
Marco
re : orthogonalité avec produit scalaire et config. du plan 29-01-12 à 15:05

Je suis un camarade de j-h83 et j'ai  compris le raisonnement, seulement nous n'avons pas étudier l'homothétie et je ne sais pas comment reformuler :

" K est l'image de O dans l'homothétie de centre A et de rapport 2.  d'où OA = OK "

Je ne pense pas que notre professeur accepte une réponse avec des formules non-étudiées.

Posté par
pgeod
re : orthogonalité avec produit scalaire et config. du plan 29-01-12 à 15:24


dans ce cas, on dit que AOJ et AKC sont également dans une configuration de Thalès de rapport 2

Posté par
Marco
re : orthogonalité avec produit scalaire et config. du plan 29-01-12 à 18:20

Merci beaucoup, cependant je ne comprend pas comment on peut affirmer que O est le milieu de AK ?
On sait que O milieu de IJ mais rien n'est dit pour AK.

Posté par
pgeod
re : orthogonalité avec produit scalaire et config. du plan 29-01-12 à 18:41


justement parce que AOJ et AKC sont dans une configuration de Thalès de rapport 2.

Posté par
Marco
re : orthogonalité avec produit scalaire et config. du plan 29-01-12 à 18:46

D'accord, mais comment prouve-t-on que c'est une configuration de Thalès de rapport 2 ? Je suis désolé, mais nous ne connaissons pas ce terme de configuration, nous utilisons plutôt les termes agrandissement et retrecissement.

Posté par
pgeod
re : orthogonalité avec produit scalaire et config. du plan 29-01-12 à 19:13

AC/AJ = AB/AI = 2/1 donc (IJ) // (CB)
on est dans une configuration de thalès avec les triangles ABC et AIJ
donc toute droite sécante passant par A et intersectant (IJ) et (BC)
se trouve également dans une configuration de Thalès.

Posté par
Marco
re : orthogonalité avec produit scalaire et config. du plan 29-01-12 à 19:22

D'accord, merci beaucoup, il me reste une dernière question, comment démontrer que H et K sont un même point ?

Posté par
pgeod
re : orthogonalité avec produit scalaire et config. du plan 29-01-12 à 21:59

ce ne sont pas ls mêmes points.

H est le projeté orthogonal de A sur [BC].
donc AHK rectangle en H
or [AK] est un diamètre du cercle circonscrit
donc H appartient au cercle .

Posté par
lili64
re : orthogonalité avec produit scalaire et config. du plan 25-04-19 à 12:01

Bonjour
J'ai exactement le même exercice seulement je n'arrive pas à montrer que HB. HC=-AH^2
Alors j'ai juste remplacé H par A ( comme c'est le projeté orthogonal) mais je n'arrive pas à avoir-AH^2

Posté par
mathafou Moderateur
re : orthogonalité avec produit scalaire et config. du plan 25-04-19 à 12:39

Bonjour

Citation :
j'ai juste remplacé H par A ( comme c'est le projeté orthogonal)

parce que tu n'as pas compris ces histoires de projeté orthogonal quand on calcule des produits scalaires
ce n'est pas parce que il y a quelque part un projeté orthogonal de quelque chose sur n'importe quoi que ça va permettre de remplacer

c'est uniquement dans un produit scalaire de deux vecteurs remplacer un vecteur par le projeté orthogonal sur le support de l'autre
et exclusivement là dessus.
(et dans la rédaction dire explicitement ce qu'on projette et sur quoi et bien vérifier que c'est bien le support de l'autre vecteur, en le justifiant explicitement)

de toute façon la seule et unique méthode de ne pas se tromper est d'ignorer ces histoires de projeté orthogonal sources d'innombrables erreurs et de décomposer systématiquement par Chasles.
HB.HC = (HA+AB)(HA+AC) histoire d'introduire ce HA

le terme "embêtant" qui reste après simplification est HA.(AB+AC)
en faisant intervenir le point M milieu de [BC} on a AB+AC = 2AM
et HA.AM = HA(AH+HM) et le terme en HA.HM = 0
il ne reste plus que des AH et des HA = -AH

Posté par
lili64
re : orthogonalité avec produit scalaire et config. du plan 25-04-19 à 15:46

Merci de vos explications j'ai réussi de répondre à cette question

Posté par
lili64
re : orthogonalité avec produit scalaire et config. du plan 25-04-19 à 15:48

Merci de vos explications j'ai réussi à répondre à cette question



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