ABC est le triangle rectangle en A, I et J sont les milieux des côtés [AB] et [AC] et H est le projeté orthogonal de A sur [BC]. On veut démontrer que les droites (HI) et (HJ) sont orthogonales. On va employer plusieurs méthodes, utilisant des outils différents, pour prouver ce résultat.
1) avec le produit scalaire
a) montrer que HB.HC= -AH²
b) en déduire HI.HJ = o, puis conclure
2) Avec les configurations du plan
a) montrer que le cercle circonscrit au triangle AIJ passe par le milieu de [BC]
b) en déduire que H appartient à ce cercle et conclure
3) Avec le théorème de pythagore
a) on note x = AB, Y = AC et z = Bc. Exprimer HI, HJ, IJ en fonction de x, y, z
b) en utilisant le triangle HIJ, conclure
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Je n'arrive pas à prouver l'orthogonalité de HI et HJ à l'aide du produit scalaire ou du plan.
Les questions qui posent problème sont 1) b) et 2) a) b), la réponse à 1) a) étant effectivement HB.HC= -AH²
J'ai essayé de calculer HI.HJ en fonction de AH mais je n'arrive jamais à o.
Merci
ok ok, merci, j'ai compris cette question.
Et si non on peut aussi partir de l'égalité vectorielle pour le démontrer ?
c'est à dire HI = 1/2(HB+HA) et HJ = 1/2(HC+HA) et (HI+HJ)² = HI²+2(HI.HJ)+HJ²
HI.HJ = 1/2(HI²+HJ²-(HI+HJ)²)
= 1/2 (HI²+HJ²-HI²-HJ²)
= 0
Par contre comment faire pour la question 2 ?
2) Avec les configurations du plan
a) montrer que le cercle circonscrit au triangle AIJ passe par le milieu de [BC]
les triangles AIJ et ABC sont dans une configuration de Thalès de rapport 2
soit K le milieu de [BC] et O le milieu de [IJ]
O est le centre du cercle circonscrit au triangle AIJ
d'où OA = OI = OJ
K est l'image de O dans l'homothétie de centre A et de rapport 2.
d'où OA = OK
et donc K est sur le cercle circonscrit au triangle AIJ
Je suis un camarade de j-h83 et j'ai compris le raisonnement, seulement nous n'avons pas étudier l'homothétie et je ne sais pas comment reformuler :
" K est l'image de O dans l'homothétie de centre A et de rapport 2. d'où OA = OK "
Je ne pense pas que notre professeur accepte une réponse avec des formules non-étudiées.
Merci beaucoup, cependant je ne comprend pas comment on peut affirmer que O est le milieu de AK ?
On sait que O milieu de IJ mais rien n'est dit pour AK.
D'accord, mais comment prouve-t-on que c'est une configuration de Thalès de rapport 2 ? Je suis désolé, mais nous ne connaissons pas ce terme de configuration, nous utilisons plutôt les termes agrandissement et retrecissement.
AC/AJ = AB/AI = 2/1 donc (IJ) // (CB)
on est dans une configuration de thalès avec les triangles ABC et AIJ
donc toute droite sécante passant par A et intersectant (IJ) et (BC)
se trouve également dans une configuration de Thalès.
D'accord, merci beaucoup, il me reste une dernière question, comment démontrer que H et K sont un même point ?
ce ne sont pas ls mêmes points.
H est le projeté orthogonal de A sur [BC].
donc AHK rectangle en H
or [AK] est un diamètre du cercle circonscrit
donc H appartient au cercle .
Bonjour
J'ai exactement le même exercice seulement je n'arrive pas à montrer que HB. HC=-AH^2
Alors j'ai juste remplacé H par A ( comme c'est le projeté orthogonal) mais je n'arrive pas à avoir-AH^2
Bonjour
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