Bonsoir , j'ai besoin d'une solution pour un exercice que je n'arrive pas a trouver une solution
a, b , c
p(x)=ax² +bx+c
- montres que si a et c et p(1) sont impairs alors l'équation p(x)=0 n'accepte pas une solution rationnelle
merci d'avance
Déjà remarque que est impair. Or,
et
sont impairs. Donc
est pair. Donc forcement
est impair. Conclusion:
,
et
sont impairs.
Maintenant tu veux montrer qu'il n'existe pas de rationnel qui est racine de . Raisonne par l'absurde: suppose qu'il existe un nombre rationnel
avec
,
et
et
premier entre eux.
Tu as: . En multipliant par
de chaque coté de l'égalité tu obtiens:
.
À partir de là tu raisonnes selon la parité de et
. Tu traites quatres cas:
1er cas: et
pairs tous les deux
2eme cas: et
impairs tous les deux
3eme cas: pair et
impair
4eme cas: ...
Tu vois que seul le 1er cas peut se produire (les autres aboutissent à une contradiction). Donc et
sont tous les deux pairs c'est-à-dire divisible par 2. Or,
et
sont premiers entre eux par hypothèse donc ce cas là aboutit aussi à une contradiction.
bonjour,
P(1)=a+b+c est impair
a et c sont impairs =>a+c est pair
tu en déduis que b est impair
supposons que l'équation P(x)=0 admette une solution rationnelle ,cette solution peut s'écrire avec p et q premiers entre eux donc p et q sont
soit tous les deux impairs
soit de parités différentes
et vérifient ap²+bpq+cq²=0 (1)
tu examines les deux cas
pq impair=>bpq impair
*p et q impairs => p²impair=>ap² impair
q² impair=> q²c impair
qu'est ce que tu peux en déduire?
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