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pair et impair

Posté par
ardenx
13-10-13 à 23:47

Bonsoir , j'ai besoin d'une solution pour un exercice que je n'arrive pas a trouver une solution
a, b , c
p(x)=ax² +bx+c
- montres que si a et c et p(1) sont impairs alors l'équation p(x)=0 n'accepte pas une solution rationnelle
merci d'avance

Posté par
sasaki93
re : pair et impair 14-10-13 à 12:14

Déjà remarque que P(1)=a+b+c est impair. Or, a et c sont impairs. Donc a+c est pair. Donc forcement b est impair. Conclusion: a, b et c sont impairs.

Maintenant tu veux montrer qu'il n'existe pas de rationnel qui est racine de P. Raisonne par l'absurde: suppose qu'il existe un nombre rationnel \frac{p}{q} avec q\neq 0, p,q\in\mathbb{Z} et p et q premier entre eux.

Tu as: a(\frac{p}{q})^2+b\frac{p}{q}+c=0. En multipliant par q^2 de chaque coté de l'égalité tu obtiens: ap^2+bpq+cq^2=0.

À partir de là tu raisonnes selon la parité de p et q. Tu traites quatres cas:

1er cas: p et q pairs tous les deux
2eme cas: p et q impairs tous les deux
3eme cas: p pair et q impair
4eme cas: ...

Tu vois que seul le 1er cas peut se produire (les autres aboutissent à une contradiction). Donc p et q sont tous les deux pairs c'est-à-dire divisible par 2. Or, p et q sont premiers entre eux par hypothèse donc ce cas là aboutit aussi à une contradiction.

Posté par
veleda
re : pair et impair 14-10-13 à 12:14

bonjour,
P(1)=a+b+c est impair
a et c sont impairs =>a+c est pair
tu en déduis que b est impair
supposons que l'équation P(x)=0 admette une solution rationnelle  ,cette solution peut s'écrire \frac{p}{q}avec p et q premiers entre eux donc p et q sont
soit tous les deux impairs
soit de parités différentes
et vérifient ap²+bpq+cq²=0   (1)
tu examines les deux cas

                            pq impair=>bpq impair
*p et q impairs =>  p²impair=>ap² impair
                           q² impair=> q²c impair
qu'est ce que tu peux en déduire?



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