Bonjour

put être faudrait il arrêter de "faire"
ça ne rime à rien et ça ne représente rien

si par "faire" tu entends résoudre f'(x) = g'(x), effectivement ça ne mène à rien, parce que ça ne correspond à rien.
(ce n'est pas parce que c'est du premier degré que c'est une droite qui a un sens dans le problème)

ce qu'il faut faire :

choisir un point A d'abscisse variable a, et donc de coordonnées (a; f(a)) sur une des deux courbes
choisir indépendamment un point B d'abscisse b tout aussi variable, et donc de coordonnées (b; g(b)) sur l'autre courbe
calculer les équations des deux tangentes
en A à la courbe de f(x) = 2x²+2x-3
en B à la courbe de g(x) = -x²+6x-7

et écrire que ces deux tangentes sont la même droite, que les coefficients ont la même valeur
ce qui donne un système de deux équations en les inconnues a et b
(même coefficient directeur = un équation, même ordonnée à l'origine = une autre équation)
qu'il faut résoudre

les solutions donnent les tangentes communes.

A (a;ya) et B(b;yb)
on a donc f(a) = 2a²+2a-3 et f'(a)=4a+2
                       f(b)=-b²+6b-7   et f'(b)=-2b+6
donc si je comprend bien,  on a une équation à deux inconnues f'(b)=-2b+6
                                                                                                                                             f'(a)=4a+2

première équation : 4a+2=-2b+6
mais pour calculer l'équation de la même ordonnée à l'origine.. je ne vois pas comment faire puis y=4a+2+p mais si on résout les 2 équations, ça nous revient à résoudre la même équation...

première équation : 4a+2=-2b+6 oui

???? puis y=4a+2+p ???? et ça représente quoi ce y = constante ??

l'équation de la tangente, c'est y = f'(a)x + p = (4a+2)x + p
calculer p de sorte que cette tangente passe par (a; f(a))

ou alors réciter par coeur l'équation de la tangente (elle doit être dans le cours)

c'est ça qui va donner p, "l'ordonnée à l'origine" de cette tangente

tu fais pareil pour l'autre

et la deuxième équation c'est que ces deux ordonnées à l'origines des tangentes sont les mêmes
et c'est bien une équation différente.

ah d'accord!
calcul de p : si A(a;f(a)) passe par l'équation suivante : y=(4a+2)(a)+p alors f(a)=(4a+2(a)+p
soit p=f(a)-(4a+2)(a) --> p=-2a²-3

calcul de p : si B(b;f(ab)) passe par l'équation suivante : y=(-2b+6)(b)+p alors
f(b)=(-2b+6)(b)+p
p=f(b)-(-2b+6)(b) --->p=b²-12b-7

première équation : 4a+2=-2b+6
deuxième équation : -2a²-3=b²-12b-7

je substitue a = (-1/2b)+1
dans la deuxième équation je trouve : -1/2b²+11b+5=0
comment je fais maintenant pour trouver le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine...?

?????
le coefficient directeur d'une tangente c'est la valeur de la dérivée

le coefficient directeur de la tangente à f(x) c'est (4a+2)
le coefficient directeur de la tangente à g(x) c'est -2b+6

tu as écrit que c'était le même (que les deux droites étaient la même droite)
en écrivant 4a+2 = -2b+6

que veux tu de plus là dessus ???
on ne cherche pas le coefficient directeur

on cherche les valeurs de a et de b !!!


et ce en résolvant (entièrement et jusqu'au bout) le système
première équation : 4a+2=-2b+6
deuxième équation : -2a²-3=b²-12b-7

mais
p=f(b)-(-2b+6)(b) ---> p=b²-12b-7 hum

f(b) = -b² + 6b -7
p = -b² + 6b -7 -(-2b+6)(b) = -b² + 6b -7 + b² - 6b = -b² -7
faudrait éviter ce genre d'erreurs de signe lors d'une simple recopie !!!

je substitue a = (-1/2b)+1 pourquoi pas, il aurait été plus simple de substituer b = 2 - 2a !! (évite des dénominateurs et des erreurs dessus)
dans la deuxième équation je trouve : vu que ta deuxième équation est fausse, c'est à refaire
de toute façon ton développement était faux aussi !!

ensuite eh bien on résout cette équation du second degré en b pardi, pour trouver la (les) valeur(s) de b
puis de a

et cela donne déja le nombre et l'existence de tangentes communes
(nombre de solutions de cette équation)
ce qui répond exactement à la question :
Montrer que les paraboles p1 et p2 admettent 2 tangentes communes

puis connaissant les valeurs de a ou de b tu peux donner l'équation de cette tangente commune
vu que l'équation de la tangente en B (b; g(b)) tu l'as déja écrite y = g'(b) + g(b) - b*g'(b) (une fois l'erreur de calcul sur p corrigée bien entendu)
il n'y a qu'à remplacer b par sa valeur.
inutile de faire aussi le calcul avec a vu que c'est la même tangente !

à répéter pour chaque solution pour avoir les équations de ces tangentes communes

d'accord, j'ai substitué b.
équation à résoudre : -2a²-3=-(2-2a)²-7 --->0=-2a²+8a-8
je trouve delta = 0 et la solution est 2. Est-ce que je fais bien de supposer que 2 est l'abscisse du point B? imaginons que oui, comment trouver l'abscisse du point A? Si je substitue a, je suis sensée trouver la même chose.

vu que l'énoncé dit qu'il faut démontrer qu'il y a deux tangentes communes et que toi tu n'en trouves qu'une seule (une seule solution a = 2) c'est forcément faux

donc reste à chercher où est l'erreur de calcul ...

équation à résoudre : -2a² - 3 = -(2-2a)² - 7 non
il y a une vielle erreur de signe qui traine depuis le calcul de l'équation de la tangente en B, passée inaperçue :
(il a fallu que je refasse tous les calculs depuis le tout début pour la trouver)

j'avais écrit :

-2a²-3=(2-2a)²-7 -->0=6a²-8a
delta : 64
x1=4/3 et
x2=0
je n'arrive pas à comprendre à quoi correspond x1 et x2 parce que a a deux valeurs maintenant..

c'est normal que tu aies deux valeurs = deux solutions = deux tangentes
(c'est marqué dans l'énoncé qu'on cherche à trouver deux tangentes communes !)

par ailleurs utiliser delta pour résoudre 6a²-8a = 0 pffff
bon passons

et (une équation en a des solutions qui s'appellent a1 et a2, pas x1 et x2)
c'est l'abscisse de A pour chacune des deux tangentes cherchés = 2 valeurs = 2 points A possibles)
etc

(pas le temps d'avantage je dois sortir, A+)

si A(0;-3) la tangente qui correspond est y=2x-3
si je prend ce point alors B(2;1) et sa tangente est la même.
On a trouvé 1 tangente!
par contre si A(4/3 ; -35/9) alors B(-2/3;-103/9)
la tangente passant par A est : y=-10/3x+5/9
la tangente passant par B est y=22/3x-59/9
c'est pas bon du coup, et je ne comprend pas pourquoi...

a = 4/3 : f(a) = 2(4/3)² + 2(4/3) - 3 = 32/9 + 24/9 - 27/9 = 29/9 pas -35/9
d'ailleurs la parabole p1 étant vers le haut et son sommet en x = -1/2 ("-b/2a" du trinome) on a forcément f(4/3) > f(0) = -27/9
et ton -35/9 < -27/9 était "visiblement faux"

la tangente passant par A est : y=-10/3x+5/9 non. encore d'autres erreurs de calcul supplémentaire là dessus
tu l'as l'équation de la tangente pas la peine de la refabriquer de toutes pièces, il suffit de remplacer a
y = (4a+2)x -2a² - 3 (c'est comme ça qu'on a obtenu nos équations en a et b !!)
pour a = 4/3 c'est y = 22/3x + etc (4*4/3 + 2 = 16/3 + 6/3 = 22/3)

je me demande bien d'où sort ton -10/3 !!!
même en refabriquant l'équation de la tangente son coefficient directeur serait de toute façon f '(a)= 4a+2 = f '(4/3) et il n'y a pas de raison d'obtenir autre chose maintenant que ce qu'on a déja calculé pour f '(x) = 4x + 2

etc (pas cherché toutes tes autres erreurs qui pourraient être là dedans)

a = 0 et 4/3 est parfaitement cohérent avec les valeurs exhibées par géogébra pour les points A1 et A2 :



évidemment Geogebra donne des valeurs approchées de ces valeurs (ici avec 2 décimales pour ne pas surcharger le dessin)
alors que tes calculs doivent donner les valeurs exactes, dont la valeur approchée à la calculette doit donner la même chose que Geogebra.

donc si tu trouves autre chose de pas bon dans la suite du calcul (ordonnées de A, coordonnées de B, équations des tangentes) c'est que tu fais des erreurs de calcul ensuite.

J'ai plus qu'à vous remercier de votre graaande patience ! Merci beaucoup  mathafou !

Bonjour j'ai ce meme exercice à faire mais je n'ai pas très bien compris comment vous avez fait pour le résoudre ! C'est trop difficile à comprendre avec les erreurs que vous faites puis que vous corrigez etc ... Est-ce que vous seriez assez courageux et aimable pour me le résumer vite fait svp.
Merci

les erreurs sont des erreurs de calculs numériques
la méthode est clairement :

on définit deux points A (a; f(a)) sur p1
et B (b; g(b)) sur p2

on écrit les équations :
de la tangente en A à p1 (en fonction de a)
de la tangente en B à p2 (en fonction de b)

on écrit que ces deux droites ont la même équation (sont la même droite)
ce qui donne deux équations en les seules inconnues a et b :
même coefficient directeur (des deux droites)
et même "ordonnée à l'origine" (des deux droites)

on résout ce système en tirant b de la 1ère et en remplaçant dans la seconde
ce qui donne une équation du second degré en a dons les deux solutions donnent les deux points A possibles (et donc les deux tangentes communes possible)

on remplace cette (chacune successivement) valeur de a
dans la formule qui donne b pour avoir le point B correspondant
dans l'équation de la tangente en A pour avoir l'équation de la tangente commun correspondant

la principale difficulté de cet exo est d'avoir une bonne boussole pour suivre ce plan en sachant à l'issue de chaque calcul élémentaire à quoi il a servi et où on va pour continuer ce plan jusqu'au bout.

refaire la démarche entière (= les calculs) est un bon entrainement pour avoir cette boussole efficace
et je ne vais pas le faire à ta place !!

Ok merci maintenant j'ai compris
En fait c'est un bon exercice récapitulatif pour le contrôle sur ce chapitre dommage qu'il soit déjà passé ...

Bonsoir, j'ai le même exercice et avec le système je suis arrivé jusqu'à a=0 et b=0, à la vérification c'est bien juste car mes deux résultats (pour P1 et P2) sont les mêmes soit 2x-3, par ailleurs je n'ai donc qu'une seule réponse sur les deux :/

désolé je me suis trompé c'est a=0 et b=0 (erreur de frappe)

B=3 c'est bizarre sa me met 0

A= zéro et B= deux je sais pas pourquoi sa me change à chaque fois je suis désolé d'encombrer le chat

bonjour,

dialogue monologue stérile sans tes calculs explicites.

ce serait long alors je vais synthétiser :

en utilisant la formule f'(a)*(x-a)+f(a) pour P1 et P2
j'arrive à y=(4a+2)x-2a ²-3 pour p1 et y=(-2b+6)x+b ²-7 pour p2
ensuite je fais le système [4a+2     = -2b+6 je développe et remplace jusqu'à arriver à :
                                                         [ -2a ²-3 = b ²-7
[2a=-b+2    <=> [a=0
[-4b = -8                [b=2

  puis je vérifie mes résultats avec ces valeurs ce qui me donne le fameux 2x-3
P1:y=(4a+2)x-2a ²-3 = 0+2x-0-3 = 2x-3
P2:y=(-2b+6)x+b ²-7=-4x+6x+4-7=2x-3

Ainsi je trouve le même 0 et le même 2 que sur votre représentation geogebra mais je ne trouve pas le 2eme résultat c'est à dire A2 et B2

[4a+2 = -2b+6
[ -2a ²-3 = b ²-7
OK

mais n'est pas équivalent à

[2a=-b+2
[-4b = -8

mais à :

[2a=-b+2
[ une équation du second degré en b

ton "-4b = -8" est une erreur de calcul dans la substitution.

Tu as un système
4a+2 =-2b+6   et   -2a²-3=b²-7

A partir de la première équation, j'ai envie d'écrire a= ... une certaine formule en fonction de b.
Puis j'utilise ce résultat dans la 2ème équation.
Je vais donc avoir une équation du 2nd degré, avec uniquement b.
Donc, sauf cas très particulier, je vais avoir 2 valeurs de b, puis 2 valeurs de a.

Donc, dans la partie que tu résumes en disant 'je développe jusqu'à arriver à ....' , tu as dû te tromper.

Probablement.

"A partir de la première équation, j'ai envie d'écrire a= ... "

c'est bien ce qu'a choisi de faire masteryogi
mais en faisant des erreurs de calcul

Nota : moi, vu les coefficients, j'ai plutôt envie d'écrire b = ... et une équation du second degré en a
mais bon ça ne change rien au résultat, juste aux risques d'erreurs plus ou moins grands