Bonjour
Dans le quadrillage ci-dessous, on veut aller de D (départ) à A (arrivée). On se déplace d'une case à l'autre à l'aide d'un dé normal à 6 faces (de 1 à 6) de la façon suivante : Si le « 1 » sort on va sur la case de gauche. Si le « 2 » sort on va sur la case en haut à gauche. Si le « 3 » sort on va sur la case au-dessus. Si le « 4 » sort on va sur la case en haut à droite. Si le « 5 » sort on va sur la case de droite. Enfin, si le « 6 » sort on ne bouge pas et on lance à nouveau le dé (en fait, c'est comme si on avait un dé à 5 faces).
Si on sort du quadrillage sur les côtés ou par le haut ou si l'on revient sur ses pas on est éliminé. Quelle est la probabilité d'arriver en A ?
En supposant qu'on se limite à 4 lancements:
Bonsoir
En 3 lancers je trouve 7 parcours possibles.
En 4 lancers j'en trouve 40.
Attention on ne peut pas faire un retour en arrière. 1 suivi de 5 ou l'inverse on est éliminé.
Il y a "beaucoup" de parcours en 5, 6, 7, 8 et 9 lancers.
Bonjour,
Tu pourrais fixer le nombre de coups pour arriver au but.
Je pense qu'il n'est pas utile de dépasser 5,pour éviter de tourner en
rond.
Personnellement,je n'ai pas assez éliminé d'impossibles pou 4.
Je regarderai plus tard avec la méthode qui part de l'idée que chaque
chiffres du parcours forme un nombre avec des interdis genre 11ab 12ab ,ab44,etc....
Petite remarque pour les 7 parcours en 3 : le chiffre 6 peut être utilisé 3 fois
pour chacun ce qui donne 21 parcours en 4 ce qui porterait à 61 le total.
Bonjour
Comme le 6 n'intervient pas pour les déplacements je n'en ai pas tenu compte (c'est comme si on avait un dé à 5 faces). Quand je dis qu'il existe 7 parcours possibles en 3 lancers, c'est 3 lancers minimum.
Les voici : 234 243 324 333 342 423 432
Pour calculer la probabilité d'arriver en A il faut cumuler toutes les probas de tous les parcours possibles arrivant en A.
En 9 lancers il n'y a que 2 parcours possibles qui sont 135531135 et son symétrique 531135531 (pour avoir un symétrique vertical il suffit de prendre pour chaque chiffre son complément à 6).
Pour chaque chiffre j'ai considéré que la proba de l'obtenir est 1/5 (dé à 5 faces).
La proba d'arriver en A en 9 lancers est donc de :
2 x (1/5)^9
Salut,
Merci pour ce petit problème
J'ai résolu le problème en brute force à l'aide de Python :
Sauf que en simulant le jeu j'obtiens des résultats trop différents. Où est l'erreur?
Voici le simulateur :
Bonjour
Voilà un problème qu'il est intéressant... je propose une solution sans tenir compte de l'élimination quand on revient sur ses pas... ce qui complique bien les choses et je n'ai pas de solution pour l'instant au problème tel qu'il est posé... mais ce que je propose donnera peut-être des idées à certains !
je ne comprends pas que vous "éliminiez" le cas "6" car il ne stoppe pas le jeu mais le ré-initialise là où il en était.... vous ne tenez pas compte des possibilités à 31416 lancers... quand on a très souvent lancé un 6 !
J'ai trouvé mon erreur dans ma simulation j'ai oublié d'aller à droite quand je fais 5
Après correction j'obtiens 15.753% avec un sigma de 0.25% ce qui est beaucoup plus proche
@matheuxmatou
J'aime bien ton approche même si j'ai du mal à suivre d'où viennent A et B aussi, si tu as besoin de je l'aurais mis dans (pour moi devrait avoir 4 composantes. Aussi, c'est et non . Non?
En simulant sans élimination quand on revient sur ses pas j'obtiens des résultats cohérents avec ta probabilité (195102 succès sur un million). Ça m'a l'air juste .
Pour éliminer quand on revient sur ses pas on peut combiner deux mouvements. En effet comme on ne peut pas redescendre, la seule manière de revenir sur ses pas est de faire 15 ou 51.
On peut éliminer le 6 si on cherche la probabilité d'arriver en A. En effet faire 6 est équivalent à annuler le lancer de dé et le relancer. Ce qui est lui-même équivalent à avoir un dé à 5 faces.
Par contre si on cherche à connaitre l'espérance du nombre de lancer pour arriver à A alors on ne peut pas éliminer le 6.
Bravi LittleFox. Je n'ai pas su mettre en programme. J'avais d'abord essayé de voir tous les cas mais c'est vraiment trop long. Donc je suis parti de case en case en faisant attention à ne pas revenir sur ses pas et j'ai comme toi.
Si l'on peut "revenir en arrière" comme le suggère matheuxmatou le nombre de coup peut devenir "infini". J'avais vite laissé tomber.
LittleFox, ton simulateur est loin du résultat. Y aurait-il une faille dans ton programme ?
LittleFox
ben oui évidemment... j'étais parti sur une numérotation différente au début et me suis emmêlé les pinceaux
dans le début de la démo, remplacer les p7 par des p1
merci
derny
J'ai vu
Dans mon simulateur j'ai essayé avec un dé à 5 faces. Comme prévu, ça ne change rien.
Ça changerait si on regardait la longueur moyenne du chemin.
matheuxmatou
En reprenant tes notations, inclure l'impossibilité de revenir en arrière, n'est pas difficile :
En enlevant le coup 6, au pire on fait deux mouvements latéraux avant de monter. Et dans ces mouvements on va toujours du même côté. Ce qui donne :
On obtient bien
Finalement pas besoin de x à 4 éléments
LittleFox
je ne comprends toujours pas "en enlevant le coup 6" ... quand tu calcules p1 pour trouver 1/5, tu tiens bien compte du "coup 6" qui est obtenu avec une proba de 1/6 et débouche ensuite sur p1
et d'autre part, quand tu repars d'une case, il faut aussi connaitre le coup précédent pour savoir si on ne reviens pas sur ses pas ... ce n'est pas seulement "les deux suivants" qui comptent...
je ne comprends pas tes formules de récurrence.
@matheuxmatou
Pour calculer la proba avec ou sans le "coup 6" de p1 on obtient bien la même chose : 1/5.
Quelle est la probabilité à l'infini d'avoir lancé 3 si quand on fait 6 on relance sinon on s'arrête?
On a p = 1/6 (on a fait 3) + 1/6p (on a fait 6 donc on recommence comme s'il ne s'était rien passé). Donc p(1-1/6) = 1/6, donc p5/6 = 1/6, donc p = 1/6*6/5 = 1/5. Tout comme si on avait lancé un dé à 5 faces : p = 1/5 (on a fait 3)
De la même façon, dans tes calculs, tu as :
Pour mes formules de récurrences, prenons par exemple p3 à gauche.
On peut :
(- Lancer 6 pour rester sur place)
- Lancer 3 pour aller en p1
- Lancer 4 pour aller en p0
- Lancer 5 pour aller en p2 mais de là on ne peut que :
(- Lancer 6 pour rester sur place)
- Lancer 2 pour aller en p1
- Lancer 3 pour aller en p0
- Lancer 4 pour aller en p1
- Lancer 5 pour aller en p3 mais de là on ne peut que :
(- Lancer 6 pour rester sur place)
- Lancer 2 pour aller en p0
- Lancer 3 pour aller en p1
Vu qu'on ne peut pas redescendre, juste après un coup qui monte on est sûr de ne pas revenir en arrière et on peut s'arrêter
Soit w5 la probabilité d'arriver en A en partant de p3 et en faisant au premier jet 5 et w55 la probabilité en faisant deux 5.
On a :
D'où mes coefficients 31 et 36. Note que l'on peut sauter les deux premières égalités dans les 3 équations si on fait comme si on avait un dé à 5 faces.
On fait la même chose pour p2 pour obtenir
LittleFox
quand tu dis :
" Lancer 5 pour aller en p2 "
à la 4eme ligne de ton raiusonnement... d'accord, mais à condition que le coup d'avant on ne vienne pas de p2 avec un "1" ...
Toute l'idée de mon raisonnement c'est d'éliminer les lancers '1' et '5'.
En fait je transforme le problème :
P(x='1') = 1/6,
P(x='2') = 1/6,
P(x='3') = 1/6,
P(x='4') = 1/6,
P(x='5') = 1/6,
P(x='6') = 1/6,
retour interdit
P(x='1') = 1/5,
P(x='2') = 1/5,
P(x='3') = 1/5,
P(x='4') = 1/5,
P(x='5') = 1/5,
retour interdit
P(x='12') = 1/25,
P(x='13') = 1/25,
P(x='14') = 1/25,
P(x='113') = 1/125,
P(x='114') = 1/125,
P(x='2') = 1/5,
P(x='3') = 1/5,
P(x='4') = 1/5,
P(x='52') = 1/25,
P(x='53') = 1/25,
P(x='54') = 1/25,
P(x='552') = 1/125,
P(x='553') = 1/125,
P(x='éliminé') = 2/25 + 6/125 ('15', '51', '111', '112', '115', '551', '554', '555')
LittleFox je confirme
J'ai procédé différemment, en calculant, partant de A, les probas d'aboutir pour chaque case (qui est aussi la proba d'aboutir quand on vient de la ligne d'en dessous). Les arbres vont vite à faire car pour chaque "couche" on utilise les probas calculées de la ligne du dessus.
et j'ai trouvé :
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