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Pavages d'un rectangle

Posté par
Yoseph
28-12-11 à 11:03

Bonjour tout le monde!!

j'ai un devoir maison à rendre pour la rentrer c'est en spé.maths cependant je ne sait vraiment pas comment y procéder surtout pour la question 1.a qui est l'ouverture du DM...
Svpl j'ai grand besoin de lumière..

1) Soit un rectangle R0 de dimensions 21 et 15 cm. On se propose de paver ce rectangle par des carrés de même côté a, c'est-à-dire de recouvrir exactement ce rectangle par des carrés de côté a.

a. On construit un carré C1 de côté 15 cm intérieur au rectangle R0 comme sur le dessin ci-contre : ce rectangle R0 est alors partagé en C1 et en un nouveau rectangle R1. Montrer que, si des carrés de côté a conviennent pour le pavage de R0, ces carrés pavent C1 et donc aussi R1.

b.On construit deux carrés identiques C2 et C'2 de côté le plus grand possible à l'intérieur du rectangle R1 :
R1 est alors partagé en deux carrés et un nouveau rectangle R2.
Montrer que, si des carrés de côtés a conviennent pour le pavage de R0, ces carrés pavent aussi C2, C'2 et donc R2.

c. On constate alors que l'on peut paver le rectangle R2 avec des carrés : quelle est la taille maximale de ces carrés ? Ces carrés pavent-ils R0 ?

d.La détermination de R1 provient de l'égalité : 21= 15 x 1 +6.
Celle de R2 de l'égalité : 15= 6 x 2 +3.
Quelle est la dernière égalité utile dans cette démarche ?

2. Faire, de même, le pavage d'un rectangle de dimensions 21 et 10 cm.
3. On se propose de payer à présent un rectangle de dimensions 210 millimètres et 188 millimètres.
La construction géométrique paraissant difficile, on va opérer algébriquement.

a. Ecrire les égalités numériques correspondant aux constructions à réaliser ; en  déduire la taille maximale des carrés qui pavent ce rectangle.

Pavages d\'un rectangle

Posté par
watik
re : Pavages d'un rectangle 28-12-11 à 11:30

bonjour

1a) suppose que l'on parvienne à paver R0 par des carrés de coté a.
on doit alors avoir na=21 et ma=15 avec n et m des entiers naturels
en faisant le rapport membre à membre pour éliminer a on obtient:
n/m=7/5
donc 5n=7m
donc 5 divise 7m et 7 divise 5n
comme 5 est premier avec 7 donc d'après le théorème de Gauss 5 divise m et 7 divise n
donc il existe k entier naturel tel que m=5k
donc 5n=7(5k)=35k donc n=7k

21=na=7ka donc ka=3 donc k divise 3 donc k=1 ou k=3
si k=1 alors a=3 unités
si k=3 alors a=1 unité

si a=3 unités alors le carreau est de 3² unités²
donc surface de R0=21*15=3²*35=35 carreaux
et surface de C1=15*15=3²*25=25 carreaux
et surface de R1=15*6=3²*10=10carreaux

si a=1 unité alors le carreau est d'une surface de 1 unité²
surface de R0=21*15=315 carreaux
surface de C1=15*15=225 carreaux
surface de R1=15*6=90 carreaux

Posté par
Yoseph
re : Pavages d'un rectangle 30-12-11 à 14:52

C'est vraiment touchant de m'avoir fait la première réponse et je suis vais transmettre mes autres calculs...Vous êtes toujours là pour m'aider ?

Posté par
LUFF21
re : Pavages d'un rectangle 31-12-11 à 12:46

Slt "Yoseph" c Pour te demander si tu a fini le dm de math

Posté par
LUFF21
re : Pavages d'un rectangle 31-12-11 à 12:49

Slt "Yoseph" c Pour te demander si tu a fini le dm de math
Ps: c pas bien de tricher.



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