Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Pb de suites (1ère S)
jai plusieurs exos a faire et je bloque sur 3 :
n°1 : Soit U(n), la suite Un=3n²-5n-6 pour n > ou egal a 0
1) étudier le sens de variation de Un
2) monterer kil existe un entier n0 tel que pr n>ou eg n0 on a Un >ou
eg 2n²
3) en déuire lim Un quand n tend vers + infini
n°2
Soit un définie pr n >ou egal a 3 par Un = (3n-1)/(n-2)
1) etudier son sens de variation
2) montrer que Un est minorée par 3, en déduire quelle est bornée
3) calculer limUn quan n tend vers +infini
n °3
Soit Un définie par : {U0 / Un+1 = (3Un+4)/( Un+3) pr n> ou eg à 0}
1) on se place ds le cas ou U0=2, montrer que Un est stationnaire
2) on suppose que U0= -1
a) calculer les trori premiers termes de Un
b) montrer que pr tout n> ou eg à 1 Un appartient ]0;2[
c) montrer que Un est croissante
Merci beaucoup pr votre aide
Erwan
Bonjour Erwan 
- Exercice 1 -
- Question 1 -
un+1 - un
= 3(n + 1)² - 5(n + 1) - 6 - 3n² + 5n + 6
= 3n² + 6n + 3 - 5n - 5 - 3n² + 5n
= 6n - 2
Et 6n - 2 
0 dès que n 1/3
Donc :
un+1 - un 0 dès que n 1
(un) est une suite croissante à partir du rang 1.
- Question 2 -
un - 2n²
= 3n² - 5n - 6 - 2n²
= n² - 5n - 6
= 25 - 4×(-6) = 49 = 7²
n1 = -1/3 et n2 = 2
Donc :
un - 2n² 0 dès que n 2
Donc :
un 2n² dès que n 2
- Question 3 -
Comme un 2n² dès que n 2,
alors lim un = lim 2n² = +
A toi de tout reprendre, bon courage ...
La suite :
- Exercice 2 -
- Question 1 -
un+1 - un
= (3(n+1)-1)/(n+1-2) - (3n - 1)/(n - 2)
= (3n + 2)/(n - 1) - (3n - 1)/(n - 2)
= [(3n + 2)(n - 2) - (3n - 1)(n - 1)]/[(n - 1)(n - 2)]
= (3n² - 6n + 2n - 4 - 3n² + 3n + n - 1)/[(n - 1)(n - 2)]
= -5/[(n - 1)(n - 2)]
Comme n3, alors n-10 et n-20.
D'où :
un+1 - un 
0
La suite (un) est donc décroissante.
- Question 2 -
un - 3
= (3n - 1)/(n - 2) - 3
= (3n - 1 - 3(n - 2))/(n - 2)
= (3n - 1 - 3n + 6)/(n - 2)
= 5/(n - 2)
Et 5/(n - 2)0 pour tout n3
Donc :
un 3 pour tout n3
(un) est donc minorée par 3.
Comme (un) est décroissante, alors pour tout n3,
un u3
c'est-à-dire :
un 8
D'où : pour tout n3,
3 un 8
(un) est bornée.
- Question 3 -
un = (3n - 1)/(n - 2)
= (3 - 1/n)/(1 - 2/n)
lim (3 - 1/n) = 3
lim (1 - 2/n) = 1
D'où :
lim un = 3
A toi de tout reprendre, bon courage ...
Et enfin, le dernier exercice :
- Exercice 3 -
- Question 1 -
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, un = 2
- au rang 0 :
u0 = 2
- au rang 1 :
u1 = (3u0 + 4)/(u0 + 3)
= (3×2 + 4)/(2 + 3) = 10/5 = 2
L'égalité est vraie aux rangs 0 et 1.
Supposons qu'elle soit vraie au rang n et montrons qu'elle l'est
encore au rang n+1 :
un+1 = (3un + 4)/(un + 3)
= (3×2 + 4)/(2 + 3)
= 10/5 = 2
L'égalité est encore vraie au rang n+1.
Donc :
Pour tout entier naturel n, un = 2.
La suite (un) est donc stationnaire.
- Question 2 - a) -
u0 = -1
u1 = (3u0 + 4)/(u0 + 3)
= (3×(-1) + 4)/(-1 + 3)
= 1/2
u2 = (3u1 + 4)/(u1 + 3)
= (3×1/2 + 4)/(1/2 + 3)
= (3 + 8)/(1 + 6)
= 11/7
u3 = (3u2 + 4)/(u2 + 3)
= (3×11/7 + 4)/(11/7 + 3)
= (38 + 28)/(11 + 21)
= 61/32
- Question 2 - b) -
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, un
]0; 2[
Vrai aux rangs 1, 2 et 3
Supposons vrai au rang n. Montrons que ca l'est encore au rang n+1 :
un+1
= (3un + 4)/(un + 3)
Comme un > 0, alors un+1 > 0
un+1 - 2
= (3un + 4)/(un + 3) - 2
= (3un + 4 - 2un - 6)/(un + 3)
= (un - 2)/(un + 3)
Comme 0 < un < 1,
alors un - 2 < 0
et un + 3 > 0
Donc :
un+1 - 2 < 0
un+1 < 2
Vrai au rang n+1
On a donc montré que :
pour tout entier naturel n non nul, un]0; 2[
- Question 2 - c) -
un+1 - un
= (3un + 4)/(un + 3) - un
= (3un + 4 - un² - 3 un)/(un + 3)
= (4 - un²)/(un + 3)
= (2 - un)(2 + un)/(un + 3)
Comme pour tout entier naturel non nul,
0 < un < 2, alors :
2 - un > 0
2 + un > 0
un + 3 > 0
Donc :
un+1 - un > 0
soit
un+1 > un
(pour tout entier naturel non nul)
u0 > u1
La suite (un) est donc croissante.
A toi de tout reprendre, bon courage ...
Annuler
connectez vous