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pb encadrement suite

Posté par sarah29 (invité) 04-05-05 à 16:49

Bonjour tout le monde et bon long week-end à tous ceux qui l'ont !

Alors voici mon problème : je butte sur deux encadrements d'un exo.

Consigne : Trouver un encadrement du terme général de la suite (U[sub][/sub]n)

a) Un=(5n²+3)/(n²+1) pour tout n appartenant à N

b) Un=racine de (n+1) - racine de n pour tout n appartenant à N

merci de votre aide !

Posté par
Nofutur2re : pb encadrement suite 04-05-05 à 16:57

pour le a)
Décompose 5n2+3 en 5n2+5 -2
pui en 3n2+3 +2n2
Tu trouveras un encadrement entre 3 et5

Posté par sarah29 (invité)re : pb encadrement suite 04-05-05 à 17:31

je comprends pas trop... désolé
tu peux peux détailler plus stp ?

Posté par
Nofutur2re : pb encadrement suite 04-05-05 à 17:32

Tu as écrit Un en décomposant le numératuer comme je te l(ai dit ??.. Que trouves tu si tu simplifies.

Posté par sarah29 (invité)re : pb encadrement suite 04-05-05 à 17:41

simplifier?
On peut pas simplifier... ou alors jai pas les yeux ds les trous...
en + je voi pa ou tu veu en venir

Posté par
Nofutur2re : pb encadrement suite 04-05-05 à 17:43

un = (5n2+3)/ (n2+1) = (5n2+5)/ (n2+1) -(2)/ (n2+1)< 5
OK ?? Fais la même chose savec l'autre décomposition.

Posté par sarah29 (invité)re : pb encadrement suite 04-05-05 à 17:45

pkoi c inférieur a 5

Posté par
Nofutur2re : pb encadrement suite 04-05-05 à 17:48

Parce que 2/(n2+1) est positif

Posté par sarah29 (invité)re : pb encadrement suite 04-05-05 à 17:50

et alors ? Je comprends rien....

Posté par
Nofutur2re : pb encadrement suite 04-05-05 à 17:52

(5n2+5 )/(n2+1) = 5
Comme j'enlève quelque chose de positif à 5, l'expression est plus petite que 5..

Posté par sarah29 (invité)re : pb encadrement suite 04-05-05 à 17:55

oui ok mais pkoi c égal à 5 ? Rien ne nou le di

Posté par
H_aldnoerre : pb encadrement suite 04-05-05 à 18:01

slt sarah29 !


3$U_n=\frac{5n^2+3}{n^2+1}

3$5n^2+3>0

et

3$n^2+1>0

donc

3$\frac{5n^2+3}{n^2+1}>0

soit

3$U_n>0


3$U_n=\frac{5n^2+3}{n^2+1}=\frac{n^2+n^2+n^2+n^2+n^2+3}{n^2+1}=\frac{n^2}{n^2+1}+\frac{n^2}{n^2+1}+\frac{n^2}{n^2+1}+\frac{n^2}{n^2+1}+\frac{n^2}{n^2+1}+\frac{3}{n^2+1}

3$\lim_{n\to+\infty}(\frac{n^2}{n^2+1})=1

et

3$\lim_{n\to+\infty}(\frac{3}{n^2+1})=0

donc

3$\lim_{n\to+\infty}(U_n)=5

donc

3$U_n<5

soit

3$\fbox{\red0<U_n<5}


@+ sur l':ilemaths _ald_

Posté par
Nofutur2re : pb encadrement suite 04-05-05 à 18:07

5n2+5/(n2+1) = 5 car je mets 5 en facteur et je simplifie ..

Posté par sarah29 (invité)re : pb encadrement suite 04-05-05 à 18:10

merci beaucoup c'est plus clair ! Mais j'ai un doute, y'aurai pas un autre moyen qu'avec des limites parce que je n'ai vu les limiltes de suite que ce matin alors que j'ai le DM depuis lundi...

Posté par minotaure (invité)re : pb encadrement suite 04-05-05 à 18:15

salut
pour montrer U_n < 5 :

U_n = \frac{5n^{2}+3}{n^{2}+1}= 5 -\frac{2}{n^{2}+1}

comme -\frac{2}{n^{2}+1 < 0

on a U_n < 5

Posté par minotaure (invité)re : pb encadrement suite 04-05-05 à 18:16

petite erreur de latex ,
pour montrer U_n < 5 :

U_n = \frac{5n^{2}+3}{n^{2}+1}= 5 -\frac{2}{n^{2}+1}

comme -\frac{2}{n^{2}+1} < 0

on a U_n < 5

Posté par
H_aldnoerre : pb encadrement suite 04-05-05 à 18:16

re


il est vrai que la methode de Nofutur est plus rapide ...

3$\begin{tabular}\frac{5n^2+3}{n^2+1}&=&\frac{5n^2+5-2}{n^2+1}\\&=&\frac{5(n^2+1)-2}{n^2+1}\\&=&\frac{5(n^2+1)}{n^2+1}-\frac{2}{n^2+1}\\&=&5-\frac{2}{n^2+1}\end{tabular}

3$\textrm 2>0 et n^2+1>0 donc \frac{2}{n^2+1}>0

3$\textrm U_n>0  cf mon post


3$\textrm donc 5-\frac{2}{n^2+1}>0 et comme \frac{2}{n^2+1}>0 il faut donc que 5>\frac{2}{n^2+1}

3$\textrm donc a fortiori 5-\frac{2}{n^2+1}<5

j'espere que c plus clair


@+ sur l'_ald_

Posté par sarah29 (invité)re : pb encadrement suite 04-05-05 à 18:17

merci à vous tous pour votre aide !!
j'ai enfin compris (heureusement parce qu'à trois à expliquer, si j'avais pas compris, ca aurait été foutu pour moi !)

a bientot !

Posté par
H_aldnoerre : pb encadrement suite 04-05-05 à 18:18

* image externe expirée *

Posté par
Nofutur2re : pb encadrement suite 04-05-05 à 18:20

Et en faisant la même chose mais en décomposant
5n2 +3 en 3n2+3 + 2n2.. Tu trouves que Un est plus grand que 3
Donc Un est compris entre 3 et 5!!!


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