je suppose que l'autre triangle est AMP...il ya des petits points sympathiques a côté.

Sinon, donne une position de départ a ton point M pour pouvoir exprimer x en fonction de AB, puis calcules ton aire.

Bonsoir,

Un peu tard, mais j'espère que ce dessin vous aidera...

C'est gentil.
Je m'y replonge dans... une petite demi heure !
Je vous donnerias mes résultats, que vous serez à même de corriger !

Merci !
max

Je cherche mais ça bloque pour l'expression des fonctions ...

J'ai posé la question sur un forum et je ne connait pas les dérivées.
Comment faire plus simple pour exprimer les max et min' ?

Soit H et K les projections othogonales de P et Q sur (AB)

On a donc
HPQ trapèze et HK = 5/2
PH = x√3/2 et KQ = (5 - x)√3/2
L'aire de (PKHP) = 5/2*(x√3/2 + (5-x)√3/2)/2 = 25√3/8
L'aire de (PMQ) = Aire(Trapèze) - [Aire(PMH) + Aire(PKM)]
Aire (PHM) = x²√3/8 et aire(KMQ) = (5 - x)²√3/2
donc
aire(PMQ) = 25√3/8 - (2x² - 10x + 25)√3/8
= (5x - x²)√3/4

La dérivée est 5 - 2x qui s'annule en 2,5 donc un maximum en 5/2 (milieu se [AB]
(si tu ne connais pas les dérivées l5x - x² est une parabole dont la convexité est déterminée par le signe de x² donc possède un maximum en 5/2)

L'aire de (ABQP) = Aire(HPQK + Aire(AHP) + Aire(MKQ)
= 25√3/8 + (2x² - 10x + 25)√3/8
= (2x² - 10x + 50)√3/8
= (2x² - 10x + 50)√3/8
= (x² - 5x + 25)√3/8

dont le minimum (Pourquoi ?) est en 5/2

J'ai également refait la figure en ne laissant que l'essentiel:

(EQ) est la hauteur de PQM issue de Q
(DM) est la hauteur de BMQ issue de M

On montre assez facilement que EQDM est un rectangle (je te laisse réflechir à cette démonstration) donc

comme l'aire d'un triangle est (base*hauteur)/2 alors :



à vérifier.

Le 1 er raisonnement est donc plus long, mais également correct si j'en convient ?
Comment puis je faire pour déterminer le maximum de ma fonction sans les dérivées ?
Je nage.

les racines de ce trinôme sont 0 et 5 donc le maximum est atteint pour x=(0+5)/2=2.5

c'est à dire quand M est au milieu du segment [AB]

le max vaut alors

aire du triangle PQM=1/2(PM)QH ,QH hauteur issue de Q
angle PMQ=60° (180-2*60)
QH=(√3/2)QM  (sinus  ...)
QH =√3/2(5-x)
aire=√3/4(5-x)²
aire maximale si (5-x) est maximal
0≤x≤5
- 5≤-x≤0
0≤5-x≤5 et  5-x=5 si x=0 l'aire est maximale

aire du quadrilatère=
aire du triangle APM+aire dutriangle PMQ+ aire du triangle QMB=
√3/4(x)+√3/4(5-x)²+√3/4(5-x)=
√3/4(x+25-10x+x²+5-x)=√3/4(x²-10x+30)=g(x)

g(x) est minimale si(x²-10x+30) est minimale
il faut reconnaitre le début de (a+b)²
x²-10x+30=(x-5)² -25+30=(x-5)²+5
valeur minimale si
x-5=0 si x=5

youpi & Labo, vous n'êtes pas d'accord sur l'aire max ?

Je pense que Labo a fait une petite étourderie dans son calcul d'aire.

son résultat est d'autant moins plausible que pour x=0 le triangle PQM est plat ce qui veut dire que son aire est nulle (on est très loin d'une aire maximale).

Sinon vérifie par toi même les calculs de chacun pour te faire ta propre opinion, c'est encore la méthode la plus sûre.

"(5x - x²)√3/4" aire du triangle
"(x² - 5x + 25)√3/8" et aire du rectangle.

Quelle sont a,b, et c dans ces trinômes ?
pour calculer le minimum ou le maximum, j'ai appris qu'en fonction de a( positif ou négatif) je devais calculer alpha, et le mini ou le max de ma fonction était l'image d'Alpha si j'étais en présence d'une fonction du type ax² +bx+c

Comment mettre sous cette forme ces fonction pour pouvoir calculer le max de l'aire du triangle
et le min de l'aire du rectangle ?

si a est positif la fonction possède un minimum et si a est négatif la fonction possède un maximum.

ensuite dans tous les cas cet extremum est donné pour x=-b/(2a) et il vaut donc f(-b/(2a))

"(5x - x²)√3/4" aire du triangle
"(x² - 5x + 25)√3/8" et aire du rectangle.

Mais, dans ces deux trinôme, quelles sont les valeurs respectives de a,b et c ?
Je n'arrive pas à les transformer pour arriver à ax²+bx+c ...

YOUPI a la solution, j'en suis sur.

merci Youpi
je viens de voir mon erreur ..
j'ai pris QM au lieu de PM soit (5-x) à la place de x,  ....
donc l'aire de QPM est (√3/4)x...

Comment je peux me débrouiller moi ?

citation "SOIT"(5x - x²)√3/4" aire du triangle
ET "(x² - 5x + 25)√3/8" et aire du rectangle.

Mais, dans ces deux trinômes, quelles sont les valeurs respectives de a,b et c ?
Je n'arrive pas transformer ces fonctions pour arriver à ax²+bx+c ..."

  décidément
aire de PQM
hauteur √3/2(5-x)
côté relatif à ma hauteur x
aire =√3/4(x(5-x)
aire maximale sommet de la parabole 5/2=2,5
  

Je vais pas dormir moi...
Peux tu m'aider labo ?

j'ai fait une fausse manip je ne peux plus répondre sous firefox (j'ai perdu toutes les images et le bouton répondre...)
maintenant je suis sous safari mais les formules ne marchent pas bien
aire du quadrilatère
aire du triangleAPM
√3/4(x^2)
aire de triangle MPQ √3/4(x-5)
aire du triangle PMB
√3/4(5-x)^2
aire totale tu additionnes

j'ai oublié un "x "pour l'aire de MPQ

aire totale
√3/4x^2+√3/4(x(5-x)+√3/4(5-x)^2
√3/4(x^2+5x-x^2+25-10x+x^2)=√3/4(x^2-5x+25)=√3/4[(x-2,5)^2+25)
donc le minimum pour x=2,5
(lors de mon précédent message je me suis encore trompée pour l'aire de MPQ)
ouf Youpi et moi ,nous trouvons le même résultat (à part le 8...)
aire triangle=1/2( base *hauteur)