je reposte entierement ma reponse : on y verra plus claire :
soit O le centre du cercle.ABCD le rectangle en question.
les sommets sont sur le cercle
=> OA=OB=OC=OD=2
OA=OB => O est sur la mediatrice de [AB] appelons la D1.
comme ABCD rectangle (AB) perpendiculaire a (BC)
donc D1 // (BC) donc d'apres le thoereme de la droite des milieux applique a ABC, D1 coupe en (AC) en son milieu.
OB=OC => O est sur la mediatrice de [BC] appelons la D2.
(AB) perpendiculaire a (BC) donc D2 // (AB).d'apres le thoereme de la droite des milieux applique a ABC, D2 coupe en (AC) en son milieu.donc D1 inter D2 = milieu de [AC]
or O est sur D1 et D2 donc O=D1 inter D2.
donc O milieu de [AC].
donc AC=2*OA=4.
et comme ABCD est un rectangle AC=BD.
donc AC=BD=4
soit x=AB.
ABC est rectangle en B.
d'apres theoreme de Pythagore :
AB^2+BC^2=AC^2=16
donc BC=(16-x^2)^(1/2)
soit S l'aire de ABCD :
S(x)=AB*BC=x*(16-x^2)^(1/2)
x allant de 0 a 4.
reste a etudier S sur [0,4]
S'(x)=(16-x^2)^(1/2)-x^2/[(16-x^2)^(1/2)]
S'(x)=(16-2x^2)/[(16-x^2)^(1/2)]
S'(x)=0 <=> 16-2x^2=0 <=> 2*(2*2^(1/2)-x)*(2*2^(1/2)+x)=0
n'oublions pas que x est dans [0,4]
S'(x)=0 <=> x=2*[2^(1/2)]
on vient de voir que la derivee s'annule pour une valeur de x. reste a voir si pour cette valeur S(x) est un maximum.
S'(x)>0 <=> 2*(2*2^(1/2)-x)*(2*2^(1/2)+x)>0,x dans [0,4] <=> x dans [0,2*2^(1/2)]
S'(x)<0 <=> x dans [2*2^(1/2),4]
tu peux faire un tableau de variation de S pour resumer tout cela si tu veux.
conclusion S(2*2^(1/2)) est le maximum de S definie sur [0,4].
reste a calculer S(2*2^(1/2)=8
conclusion l'aire maximale est de 8 cm^2.