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petit problème simple sur les suites
salut à tous voici mon problème:
Bill a acheté un cactus de un mètre de haut qui grandit de 5 cm tous les mois.
Bob a acheté un ficus de 50 cm de haut dont la taille augmente de 5 % tous les mois. On désigne par Un la talle en mètre du cactus au bout de n mois (Uo = 1) et par Vn celle du ficus (Vn = 0.5).
Montrer que la suite (Un) est arithmétique. Exprimer alors Un en fonction de n.
Montrer que la suite (Vn) est géométrique. Exprimer alors Vn en fonction de n.
Quele est la plante qui atteindra la première le plafond situé à 3.5 mètres de haut ( les 2 plantes sont posées sur le sol).
merci de m'aider car je n'ai pas du tout compris comment procéder.
Salut,
1. Chaque mois le cactus grandit de 5cm soit 0,05m) donc , u est donc une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 0,05.
2. La taille du ficus augmnte de 5% chaque mois, donc:
Donc v est une suite géométrique de premier terme 0,5 et de raison 21/20.
3. Cherchons n et m tels que et
équivaut à:
Au bout de 50 mois le cactus aura atteint le plafond.
calculmons voir si le ficus aura déjà atteint le plafond.
v_{50}=5,7 >3,5 donc le ficus aura atteint le plafond en premier.
* Si le cactus augmente de 5cm tous les mois, on aura donc :
U1 = Uo + 5
U2 = U1 + 5
U3 = U2 + 5
...
Un = Un-1+5
Un+1 = Un+5
Donc il s'agit d'une suite arithmétique de raison r = 5
et Un = Uo + nr ==> Un = Uo + 5n
*De même, le ficus augmente de 5% tous les mois, on aura donc !
V1 = Vo + 5/100 Vo
V2 = V1 + 5/100 Vo
...
Vn = Vn-1+ 5/100 Vn-1 = Vn-1*105/100 = Vn-1* 1,05
Donc il s'agit d'une suite géométrique de raison q = 1,05
et Vn = Vo * qn
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