salut

x² = x * x et le produit de deux entiers est entiers ...


le deuxième et le dernier sont tout aussi triviale si on sait ce qu'est Q ....

donc Q est stable par addition  ...

donc il suffit que l'un des deux ne soit pas dans Q pour que leur somme non plus ....

Je suis d'accord, mais il me faut le prouver par des calculs, c'est bien beau de dire x² appartient à N car c'est un produit de deux entiers, mais il n'y a pas de preuve...
Par exemple, on pourrait monter par récurrence que x² est un entier, mais avec des calculs, pas en disant que c'est comme ça parce-que c'est évident, ça fait marchand de tapis ^^

Mais merci quand même de ta réponse

Et d'abord, PierrotLeMatheux, comment définis-tu le produit de deux entiers, hein ? Partons du début.

Je vois pas vraiment le type de réponse attendu à ta question....

a*b avec a et b appartenant à N ?

Avec a-[a] =b-[b] =0 ?

Ma question est juste légèrement moins farfelue que de se demander si le produit de deux entiers est un entier ....

Désolé, j'ai écrit dans la partie détente, mais en fait c'est mon prof de maths qui m'a demandé ça ^^
Comme c'est un peu un passe temps pour moi, j'ai juste pas voulu le mettre dans la section DM

Sinon, vous pouvez m'avancer ?

un peu de sérieux :: en première S tu es capable de démontrer ça de façon élémentaire .... telle que je te l'ai indiqué dans mon premier post ....

Bah alors je suis nul, car je ne vois vraiment pas...
Comment prouver que le produit de deux entiers est entier ?
J'ai réussi pas récurrence, mais c'est pas vraiment denotre niveau, on a jamais appris ...  

Par définition du produit sur comme loi de composition interne, le produit de deux entiers est un entier.

l'ensemble N muni de la multiplication est un monoïde commutatif ... ou encore un magma associatif et unifère ...

si tu veux proposer cela à ton prof ....

Bonjour,
le monoïde j'ai dejà rencontré, mais le magma unifère ... c'est du Bourbaki ?

Je veux bien dire ces mots super compliqués, mais comment je les intègre ?

nulle part.
la réponse t'a été détaillée par GaBuZoMeu :
le produit de deux entiers est par définition du produit un entier
c'est une loi de composition "interne" : le résultat est dans l'ensemble de départ.

sinon tu dois remonter à la définition même et détaillée du produit de deux entiers à partir de l'addition définie elle même à partir des axiomes de Peano qui définissent ce qu'est l'ensemble des nombres entiers.
4 pages de calculs et de définitions abstraites :
0 est un nombre entier
tout entier a un successeur.
etc ...
on définit une loi de composition appelée addition qui etc ...
on appelle produit etc ...

et ça se résume en une phrase :
par définition, le produit de deux entiers est l'entier qui etc ...(celui qu'on apprend en primaire avec les tables de multiplications et la méthode pour effectuer une multiplication)

Mais c'est bon, j'ai réussi à la démontrer par récurrence, c'est surtout pour les autres
Et oui, mon prof est un vrai gros farceur ^^

Juste par curiosité, j'aimerais bien voir ta "démonstration par récurrence".

Et pour les autres, carpediem t'a déjà répondu. J'ajouterais les questions :

1°) Définition de ?
2°) Définition de la somme, du produit de 1/2 ?
3°) Axiomes concernant et les opérations ?

On initialise : 0² appartient à N

On suppose n appartient à N => n² appartient à N
Alors, (n+1)² = n² + 2n +1
n² appartient à N, 2n appartient à N ainsi que 1, donc, (n+1) appartient à N => (n+1) appartient à N

Donc, c'est bon

tu as prouvé que 1*n appartient à N ?
1*1 je te l'accorde, allez. "on sait" depuis le primaire que 1*1 ça fait 1 mais tu devrais le prouver.
mais on sait tout aussi bien depuis le primaire que le produit de deux entiers est un entier

en fait il te manque la définition formelle du produit dans
et la preuve formelle que tu as le droit d'écrire que (a+b)² = (a+b)*(a+b) = a*a + a*b + b*a + b*b
et que a*b = b*a etc etc...

et cette définition c'est "on appelle produit de deux entiers l'entier qui ..."

alors ta "démonstration" c'est de la poudre aux yeux.

J'ajoute au réquisitoire de mathafou :
Tu admets sans sourciller que si n est entier, alors 2*n est entier. Pourquoi ? Un produit d'entiers est entier ?
Tu admets sans sourciller que si n^2 et 2*n sont entiers, alors n^2+2*n+1 est entier. Où est la démonstration du fait que la somme de deux entiers est un entier ? Si tu admets ça comme évident, pourquoi n'admets-tu pas que le produit de deux entiers est un entier ?
Et ne me dis pas que la somme de deux entiers est un entier parce-que c'est évident, ça fait marchand de tapis ^^

Ok, je reconnais que c'est un peu débile de vouloir prouver ça...
J'en ai parlé à mon prof, il a dit que c'était pas grave, qu'on admettait que les opérations autres que la division ou le modulo faisaient forcément un N ou un Z, donc finalement, pas la peine

En revanche, il faut que je le prouve pour Q et (non Q), j'ai déjà réussi à prouver que avec a appartenant a Q et b n' appartenant pas à Q, on a a+b n'appartient pas à Q

Pourquoi faire la différence entre d'une côté et de l'autre ? L'addition et la multiplication sont des lois de composition interne sur (la somme et le produit de deux rationnels sont rationnels), de plus tout rationnel a un oppose dans , et tout rationnel non nul a un inverse dans .

C'est vrai, mais c'est facilement démontrable...
Si on a a et b appartenant à Q, alors a peut s'écrire sous la forme p/q et b sous la forme p'/q' avec p, q, p', et q' appartenant à Z et avec q et q' différents de 0

Alors a+b = p/q + p'/q'
                  = (pq' + p'q)/(qq')

On admet bien  sur que les opérations dans Z restent dans Z (je ne saisppas comment le dire mais vous me comprenez), donc, on a a+b qui s'écrit sous la forme d'une fraction de 2 entiers, donc a+b appartient à Q...

J'ai raison ou pas ?.....
  
En fait, mon problème est pour prouver la deuxième ligne de ma première question en utilisant le même principe que ce que je viens de faire...

C'est la définition de l'addition sur , et elle dit que le résultat est rationnel, rien de plus.

C'est quoi, la deuxième ligne de ta première question ?

Oui, ça ne montre rien de plus mais c'est va que je voulais rien de plus
Sinon, dsl, je suis sû mon téléphone, donc c'est pas simple pour LaTeX...
La deuxième ligne de ma question, c'est de prouver  que avec a et b appartenant à Q, on a (b-a)/2 appartient à Q...
Avec la même procédure que pour ma demo ci dessus..

La différence de deux rationnels est rationnelle, et le produit de deux rationnels est rationnel. What else ?

Et on retombe en fait sur un problème de définition de Q et des opérations dans ces ensembles

comment as tu défini Q ?(rigoureusement) et pour pouvoir ne serait-ce que même parler d'addition et de multiplication dans Q il faut les définir.

alors donner en fait la définition en disant que cette définition définit bien une opération interne, certes, mais de là à prétendre qu'une définition est une démonstration ??

Merci beaucoup, j'avais même pas pensé à un truc aussi simple ^^

Donc bah voilà, j'ai plus qu'a rédiger tout mon DM et à le recopier
Mercia à tout le monde pour votre aide et votre rapidité !

Je comprends pas vraiment ton message Mathafou, j'ai déjàddéfini ce qu'était Q, c'est l'ensemble des nombres que l'on peut écrire sous la forme p/q avec p appartenant à Z et q appartenant à Z*

Mais c'est bon, j'ai fait ce que que je voulais faire donc merci encore

Tu ne l'as pas défini complètement, puisque tu n'as pas dit quand p/q et r/s représentent le même nombre rationnel.

C'est quoi ça r/s ?

une autre fraction avec et , pardi !

Bah... Si pgcd(r;s)=pgcd(p;q), c'est quand p=r et s=q non?

c'est simplement la règle fondamentale des fractions vue en 6e ....

et ce n'est pas ce qu'on te demande ...

? .....

Non, c'est faux.

Et p/q=r/s quand p=r et s=q : tu penses que 15/10 n'est pas égal à 9/6 ?

Je précise mon "Non, c'est faux" un peu abrupt. Quand tu dis que est l'ensemble des fractions, il faut préciser quand est-ce que deux fractions sont égales, c.-à-d. représentent le meême nombre rationnel. C'est la question que je te pose depuis tout à l'heure sans obtenir de réponse satisfaisante.

Bah... p/q = r/s => k tel que pk=r et pk=s ??

C'est pas ça?

k est quoi ? un entier ?

Oui, excuse, un entier inversible

Heu... Non! Dsl, un réel inversible!

Enfin... Je dirais plutôt un rationnel inversible...

C'est mot dernier mot! :p

Un peu embêtant, tu es juste en train de définir les rationnels. Ca se mord la queue, non ?

Ah oui, tiens, je n'y avais même pas fait gaffe...
Mais il y a une réponse au moins?

Les deux nombres rationnels représentés par p/q et r/s sont égaux si et seulement si ps=rq, c'est ça?

On y arrive !

Et maintenant, ceci dit, tu vois que la définition de la somme de deux rationnels devrait s'accompagner du fait que le résultat ne dépend pas du choix des fractions qui représentent les nombres rationnels.

Oui, je vois, mais comment prouver la même chose en ne les modélisant pas par des fractions d'entiers?