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PGCD de 2 entiers
bonjour, j'ai un exercice de maths spé où j'ai du mal à trouver la solution.En fait je ne connais pas la methode à suivre. Le voici:
A.Soit a un entier.
Montrer que les nombres:
A=13a+3 et B=15a+2
ont un PGCD égal à 1 ou à 19.
B.Comment faut-il choisir a pour que ce PGCD soit égal à 19?
Pour la B je sais en ayant remplacer "a" par des entiers que "a" doit etre un multiple de 10.
Merci d'avance.
Déjà pour le A, comme le pgcd d divise toute combinaison linéaire de A et B tu peux en trouver une qui soit égale à 19 (qui n'a que deux diviseurs naturels, 1 et lui même).
Bonjour
A. Cherche une combinaison linéaire qui éliminerait les a.
B. Utilise l'algorithme d'Euclide.
si d divise A et B alors d divise toute combinaison linéaire de A et B et en particulier d divise 15A-13B
à toi!
merci bcp à tous je trouve en fesant une combinaison linéaire: 15A-13B= 45-26=19 or 19 n'est divisible que par 1 et lui même. Est-ce que cette redaction suffit à repondre à la question? Il me reste que la question B. mais je vais essayer d'abord...
Merci
est-ce que qqun pourait m'expliquer à quoi sert l'algorithme d'euclide et comment m'utiliser svp.
Dans mon cours on dit que l'on divise le plus grand des 2 nombres et ici c'est B non?? de plus même si je fais A-B je trouve -2a+1 et non 2a-1. Pouvez vous m'expliquez comment vous trouvez ça svp. Merci
vous avez dû inverser A et B mais ça ne change rien car vous n'avez inverser que les lettres mais pas les valeurs car c'est A= 13a+3 et B=15a+2. C'est pour sa que je ne voyais pas. mais maintenant c'est la fin que je ne comprend pas voyez ce que je trouve:
pgcd(A;B)=pgcd(A;B-A)=pgcd(13a+3;2a-1)=pgcd(A;C)=pgcd(C;A-6C)=pgcd(2a-1;a-3)
moi je trouve à la fin pgcd(2a-1;a-3) alors que vous trouvez pgcd(2a-1;a+9) pouvez-vous m'expliquer où je me suis trompé et comment vous trouvez sa et que dois-je faire ensuite.
merci
Le problème n'est pas de diviser le plus grand des deux nombres.
Pour montrer que pgcd(a,b)=pgcd(b,r), on n'utilise que l'égalité a=bq+r sans prendre en compte 0=<r<b.
Mais ici comment je fais pour savoir lequel je divise par l'autre?
A=13a+3 et B=15a+2
15a+2 = 1*(13a+3)+(2a-1)
13a+3 = 6*(2a-1) + (a+9)
2a-1 = 2*(a+9) - 19
PGCD(A,B) = ... = PGCD[(a+9),19]
Donc si PGCD[(a+9),19]= 19 alors a+9=0[19] <=> a=-9[19] <=> a=10[19]
Sauf erreur.
merci j'ai maintenant compris la premiere partie mais ensuite je ne comprend plus ça:
PGCD(A,B) = ... = PGCD[(a+9),19]
Donc si PGCD[(a+9),19]= 19 alors a+9=0[19] <=> a=-9[19] <=> a=10[19]
comment deduis-t-on de ça: 2a-1 = 2*(a+9) - 19 que PGCD[(a+9),19]= 19
et enfin, est-ce que a+9=0[19] veut dire a+9 congru 0 mod(19)????
MErci
pour la dernière question : oui, ce sont deux notations équivallentes
pour la première question : pgcd(a+19;19)=19 équivaut à 19 divise a+19 et donc a+19 
0(modulo 19)
On ne le déduit pas on recherche pour quelles valeurs de a on a PGCD[(a+9),19]=19.
Pour la suite garnouille a bien expliqué (salut )
Bonjour,
voila j'arrive maintenant à a10(19)
la question est: Comment faut-il choisir a pour que ce PGCD soit égal à 19?
que dois-je faire maintenant pour y repondre?
je sais en ayant remplacer "a" par des entiers que "a" doit etre un multiple de 10. mais comment passer des congruences à ça?
Merci.
Pourriez-vous m'aider voici le lien ou j'ai posé ma questions:
https://www.ilemaths.net/sujet-pgcd-de-2-entiers-115302.html
Merci d'avance.
*** message déplacé ***
Pas besoin de créer un nouveau post pour ça... Il suffisait d'écrire un message dans ton topic pour qu'il remonte en tête de liste.
la question est: Comment faut-il choisir a pour que ce PGCD soit égal à 19?
Et bien on y a répondu, il faut que a soit congru à 10 modulo 19
ok merci bcp je n'était pas sûr d'avoir terminer merci encore.
a propos j'ai un autre exo ou j'ai du mal voici l'enoncé:
A.montrer que tout entier n :
pgcd(5n^(3)-n;n+2)=pgcd(n+2;38)
B.determiner l'ensemble des entiers n tels que n+2 divise 5n^3-n
C.quelles sont les valeurs possibles du pgcd de 5n^3-n et n+2?
D.determiner l'ensemble des entiers n tels que le pgcd de n^3-n et de n+2 soit egal à 19.
lol
C'est un exo un peu du même type il me semble. Essaye de t'inspirer du premier. La spé maths c'est dur ! Il faut y passer du temps.
comme la dit Nightmare la meilleure solution c'est d'utiliser l'algorithme d'Euclide
@+ Yannick
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