Salut  Imod.
Pour le réseau triangulaire :

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Il me semble qu'une affinité  permet de montrer qu'on à les mêmes résultats que pour le réseau carré, avec un facteur .

Salut Verdurin

Oui , quadrillage ça pique un peu mais ça parle

Il me semble qu'il serait plus simple de prendre le polygone paveur comme unité , comme ça on ne parlerait plus que d'entiers . Attention , il y a deux questions .

Imod

Ma réponse pour le réseau triangulaire vaut pour les deux questions.

En fait seuls les sommets importent et le pavage par des triangles équilatéraux a les mêmes sommets qu'un pavage par des losanges d'angle  aigu 60°.
À une affinité près on est bien dans le même cas qu'un pavage par des carrés.
Toutes les formules d'aires restent donc valable si on prend comme unité le losange.

Si on prend comme unité d'aire le triangle il va falloir multiplier par 2 pour la formule de Pick.

Je pense encore à la suite . . .

D'accord pour le réseau triangulaire , il reste le cas de l'hexagone .

Imod

Une petite remarque tout de même , le réseau hexagonal n'est rien d'autre qu'un réseau triangulaire auquel on a enlevé quelques points .

Imod

Ça j'avais vu, mais ces quelques points en moins me rendent les choses beaucoup plus difficiles.

Un seul être vous manque ... je ne me lasserai jamais de ces petits problèmes

Imod

J'ai l'impression ( sans preuve ) que les seules directions des côtés qui conviennent sont celles qui sont données par les côtés et les diagonales d'un élément paveur .  Si c'est vrai , ça réduit énormément le champ des recherches car il n'y aurait que trois orientations possibles et les côtés seraient combinaisons des trois mesures c , d et D ( côté , petite diagonale , grande diagonale ) .

A suivre donc ...

Imod  

Je pense au contraire que deux sommets quelconques  du pavage peuvent être les sommets consécutifs d'un hexagone dont tous les autres sommets sont des points du pavage.

Une idée pour une démonstration : on fait des rotations d'un tiers de tour à partir de ces deux points et on en obtient deux autres pour avoir 4 cotés d'un hexagone.

Une image.

En effet

Et si on fait apparaître sur ton dessin le centre de l'hexagone qui est un point du réseau triangulaire sous-jacent , on peut utiliser la formule de Pick pour trouver l'aire .
Autre remarque , si on se donne un bipoint du réseau triangulaire , on peut le translater pour obtenir un bipoint du réseau hexagonal donc les aires possibles sont exactement les aires des triangles . Il reste à voir comment adapter la formule de Pick .

Imod

Sur quelques exemples :



Avec k=1 , 2 ou 4 selon que le réseau est triangulaire , carré ou hexagonal  et quelque soit la forme du polygone simple .

Imod

salut

je suis depuis longtemps ... et enfin une image !! merci verdurin

mais je ne comprends toujours pas ce que tu veux dire par

Bonjour Carpediem

J'aurais dû illustrer mais je ne suis pas à l'aise avec les images et n'ai pas eu le courage .

En fait il y a deux questions pour les trois pavages réguliers possibles . Prenons l'exemple de l'hexagone régulier .

1°) Quelles sont les aires possibles pour les hexagones réguliers dont les sommets sont des nœuds du réseau  .

2°) Pour un polygone simple dont les sommets sont des noeuds du réseau , existe-t-il une formule à la "Pick" qui donne son aire en fonction du nombre de nœuds à l'intérieur et à la frontière .

Imod

En fait il n'y a pas de formule « à la Pick » pour le pavage par des hexagones.
Voici un hexagone du pavage :

On a deux triangles d'aires différentes et qui ont le même nombre de point intérieurs (0) et le même nombre de points frontières (3).

Un contre-exemple à cette formule avec un hexagone régulier.

L'aire est celle de 3 hexagones de base et

Oui , en fait c'est assez logique , il faut appliquer la formule sur le réseau triangulaire et diviser par 6 .

Sur ton premier dessin :

L'aire bleue : (3+2X0-2)/6=1/6
L'aire verte : (4+2X0-2)/6=1/3
L'aire orangée : ( 5+2X0-2)/6=1/2 .

Sur le deuxième : A=(6+2X7-2)/6=3 .

Mais bon , c'est de la triche car on n'utilise pas vraiment le réseau hexagonal

Imod

Ceci étant la formule que tu proposas marche pour pas mal d'hexagones réguliers sur le pavage hexagonal.
_{Mais si tu as du mal à poster des images j'ai du mal à compter au delà de 9 ou 10.}
Je n'ai trouvé de contre-exemples que quand j'ai essayé de la démontrer dans le cas général.

Ceci dit , si on a construit un triangle équilatéral d'aire A sur un réseau de même nature , alors on sait facilement construire un hexagone d'aire 6A et donc d'aire  A sur le réseau hexagonal  . Réciproquement ,  si on a construit un hexagone d'aire A sur un réseau hexagonal , on peut construire un triangle d'aire A/6 sur le réseau triangulaire obtenu par découpage de l'hexagone en 6 , on a donc un triangle d'aire A sur le réseau triangulaire . On peut donc construire exactement les mêmes aires sur les deux réseaux .

J'ai conscience de ne pas être clair du tout

Un exemple , si on sait construire un triangle équilatéral d'aire 7 unités sur un réseau de triangles équilatéraux , on sait construire un hexagone régulier de 7 unités sur un réseau d'hexagone régulier et réciproquement

Imod

Ce qui voudrait dire que l'on a exactement les mêmes limitations pour les aires des hexagones réguliers (mesurés en hexagone de base ) dans un pavage hexagonal que pour les aires de carrés dans un pavages par des carrés.
Je crois que c'est vrai.
Mais je n'ai pas d'idée de démonstration.

Non , en fait je crois que c'est un peu plus compliqué que ça . Les aires que l'on peut atteindre avec les triangles triangles et les hexagones sont les mêmes mais ne sont pas celles atteintes par les carrés . On peut regarder avec des aires de 3 ou 5 par exemple . Je trouve particulièrement amusant de chercher les aires que l'on peut atteindre avec les triangles équilatéraux , on obtient des petits coloriages avec deux variables .

Je n'ai malheureusement pas le temps d'approfondir

Imod  

Une proposition , l'aire A existe si on peut trouver deux entiers naturels a et b avec : a²+b²+ab=A .

Imod

  

Je joins une figure avant de partir :



Imod

Bonjour
Je viens de voir furtivement ce sujet (pris par ailleurs pour vraiment participer).
Pour les hexagones :
Soit s la surf d'1 hexagone unité on a :
((Nb de pts int) +(Nb de pts périph/2) - 1) / 2 = Nb de s

Bonjour à vous trois.........
Je n'ai pas participé car j'étais sur la "la cubiture".
Je suis sûr que c'est aussi un cas dans vos axes de réflexion.

Salut derny.
Ça ne marche pas.
Voir un contre-exemple ici Pick généralisé ?

Les premières aires possibles pour le triangle ( et donc l'hexagone) : 0,1,3,4,7,9,12,13,16,19,21,25,27,28,31, ...

On rappelle que pour le carré il faut et il suffit que chaque facteur premier de la forme 4n+3 apparaisse avec un exposant pair .

Imod

J'ajouterais que même si elle semble juste , il manque une démonstration à la formule de Pick triangulaire : A=F+2.I-2 . J'étais à 100% avec Verdurin au départ mais les déformations du réseau changent pas mal les données quand on passe d'un quadrilatère à un triangle et du coup j'ai des doutes

Imod

Salut Imod.
Quand tu passe d'un ( vrai ) quadrillage à un autre par une transformation affine les rapports entre les aires sont conservés.
En d'autres termes si tu traces une figure sur ce quadrillage

et que tu prends comme unité le carreau alors la figure reportée sur ce quadrillage

aura la même aire en prenant comme unité le parallélogramme de base.

La formule de Pick s'applique donc sans problème.
Ensuite si on prend comme unité d'aire le demi parallélogramme il suffit de multiplier par deux le résultat obtenu par cette formule.

Bonsoir
Ma formule fonctionne dans tous les cas numéro 1 du tableau ci-dessous.

Ma phrase a "fourché". Le cas numéro 1 est celui que tu as dessiné de surface 3.

Salut derny
J'ai du mal à compter jusqu'à quatre  

@Verdurin

D'accord pour la formule sur le réseau triangulaire . En fait il ne faut regarder que les losanges orientés dans une des deux directions , ce qui casse un peu les symétries initiales :



Mais après on retrouve exactement la formule de Pick

Imod

La seule chose qui compte pour la formule de Pick est les sommets du pavage.
Les lignes du quadrillage n'ont aucune importance.

Bien sûr mais visuellement on déforme un pavage , c'est d'ailleurs sous cet angle que toutes les illustrations ont été faites .

Imod

Pour en finir avec ce problème , il est amusant de constater qu'on peut construire un triangle équilatéral ou un hexagone régulier sur un quadrillage du même type et d'aire n si et seulement si il existe deux entiers naturels a et b tel que a²+b²+ab=n . La construction est alors donnée par la figure du 17/05 .

Imod

Un mot post-final.
Je suis d'accord avec Imod pour les aires possibles des figures unités.

Le résultat n'est pas le même que pour les carrés car l'image par l'affinité ad hoc d'un carré n'est pas toujours un losange.
Une image pour voir
devient

et le quadrilatère de la seconde image n'est manifestement pas un losange, alors que celui de la première image est un carré.

Il reste un point qui me tracasse : il n'y a pas de formule genre Pick pour le pavage hexagonal.

Cependant la formule donnée par Imod puis par derny semble s'appliquer à tous les hexagones convexes à sommets sur le pavage ayant des angles de 120°.
Du moins je n'ai pas trouvé de contre-exemple.

Quelqu'un a t-il une idée de démonstration ?

C'est vrai qu'il reste des questions ouvertes sur le réseau hexagonal . Avant d'attaquer les hexagones équiangles-convexes ,  je me contenterais assez bien d'une preuve pour le cas des triangles équilatéraux et des hexagones réguliers .

Imod

PS : petite question au passage , quels sont les polygones réguliers constructibles sur un réseau triangulaire ou hexagonal ?

@Verdurin , il ne faut pas me relancer , avec moi une question en appelle toujours une autre et on finit avec des pages où plus personne ni retrouve ses petits

Une question intermédiaire , j'ai l'impression que les triangles équilatéraux que l'on peut construire sur une grille hexagonale sont exactement ceux qui ont des aires moitiés des hexagones ( déjà énumérés implicitement ) .

Exemple : construire un triangle triangle équilatéral d'aire 7/2 sur une grille hexagonale .

Imod

Deux nouvelles questions à propos des triangles équilatéraux construits sur un réseau de même nature .

1°) L'aire d'un de ces triangles est congrue 0 ou 1 modulo 3 ( facile ) . Il semble que les sommets de ces triangles sont sur un réseau hexagonal si et seulement si l'aire est divisible par 3  .

2°) Peut-on concevoir deux de ces triangles de même aire mais avec des F et I différents ?

Imod

PS : la deuxième question peut paraître bizarre mais sur un réseau carré on peut construire un carré d'aire 25 en suivant les lignes du quadrillage mais  aussi en s'appuyant sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle 345 . La question revient à se demander s'il existe un entier n pour lequel l'équation diophantienne a²+b²+ab=n admet plus de deux couples de solutions (a,b) dans N² .

Pour donner une indication de réponse  à ta dernière question :

Bien vu

J'ai l'impression que les deux triangles ne sont pas sur un réseau hexagonal , ce qui n'invaliderait pas la conjecture pour la première question .

Bravo pour ta ténacité !!!

Imod

En effet ils ne sont pas sur un réseau hexagonal.
Je n'ai pas encore chercher ta « dernière première » question.

La première dernière question n'est certainement pas la dernière des dernières

En tout cas , merci pour ta participation

Imod

Parfois je me demande si tu cherches réellement des réponses à tes questions.

En tous cas merci pour tes questions

J'aurais juste apprécié que tu cherches un peu plus les réponses.

Je pose sans doute trop de questions mais une bonne question est toujours le fruit d'une petite réflexion , je partage mes interrogations et j'en ai beaucoup en ce moment . Je pourrais bien sûr piocher un exercice quelque part et le balancer pour comparer vos solutions à la mienne , je préfère proposer des problèmes ouverts .

Ceci dit tu n'as pas tort , j'ai parfois la flemme , mea culpa

Imod

PS : j'ai tout de même apporté quelques réponses alors ne tapes pas trop fort  
PPS : ce n'est pas moi qui ai relancé le fil



    

Je n'aime pas la tournure que prend ce fil , je laisse donc tomber ( j'y réfléchirai tout seul ) .

Avant de partir , une réponse à la première des dernières questions que je rappelle : on a construit un triangle équilatéral sur un réseau triangulaire , à quelle condition ce triangle a-t-il ses sommets sur un réseau hexagonal ?

Supposons ce triangle construit sur un réseau hexagonal que l'on va diviser en deux réseaux triangulaires :



Ce triangle admet forcément deux sommets de même couleur , or les deux réseaux sont invariants par rotation de 60° autour d'un de leurs nœuds , le troisième nœud est alors de la même couleur et le triangle est monochrome . On a donc affaire à un triangle équilatéral construit sur un réseau triangulaire . Deux unités d'aire sur le réseau triangulaire donnent une unité sur le réseau hexagonal donc l'aire du triangle doit être égale à 0 ou 4 modulo 6 .  

Imod

Salut Imod.
Avec toutes mes excuses si je t'ai paru désagréable.

À propos de ta dernière affirmation, un contre-exemple en dessin.