shéma 2 :

L'aire MNB' doit être minimale ou maximale ?

minimale

Bonjour, la géométrie n'a pas la cote, ces derniers temps... Ton problème est bien moins simple qu'il y paraît, car on voit bien quand l'aire MNB' est maximale (triangle rectangle isocèle de côté 1.5) il n'est pas évident de voir quand cette aire est minimale, car si on allonge NB à l'infini, cette aire va augmenter aussi.
Bref, l'idée est d'exprimer l'aire du triangle MNB' en fonction de x et d'étudier les variations de la fonction obtenue, entre les valeurs mini et maxi de x, imposées par la figure. On cherchera en particulier le minimum de cette fonction.
J'ai refait les figures dans les cas limites et le cas général, pour qu'on y voit plus clair.
L'aire du triangle (rectangle) MNB' sera égale à NB' * B'M/2

J'ai trouvé des expressions de NB' et B'M en fonction de x, mais quand on les multiplie on arrive à des choses qui me semblent sortir de ce qu'on fait en première...
Bref, je laisse la suite à des gens plus chevronés que moi... Si vraiment tu n'as pas de réponses, je te mettrai ce que j'ai trouvé, mais je ne veux pas te dire de bêtises...

Bonjour lolilou,
il n'est pas bon de r'ouvrir un topic. Tu pouvais relancer l'ancien.
Avais-tu essayer ma démarche ?

j'ai refait un topic car l'autre personne ne répôndait.
Pour ta technique goupi1 je ne l'ai pas trop comprise
merci borneo

bornio je vuex bien ta technique sa me permetra d'avoir un chemin ou chercher...

Y a pas un correcteur qui passe par là ?

Bonjour,
Y a pas un correcteur qui passe par là ?
Merci

wé il y en a 1!!

MB' = 1,5 - AM

MB'² = AB'² + AM²
MB'² = x² + AM²
(1,5 - AM)² = x² + AM²
2,25 - 3AM + AM² = x² + AM²
2,25 - 3AM  = x²

AM = (2,25-x²)/3

MB' = 1,5 - (2,25-x²)/3
MB' = 0,75 + (x²/3)

angle(NMB') = angle(B'MN)

angle(NMB') + angle(B'MN) + angle(AMB') = Pi

2.angle(NMB') + angle(AMB') = Pi

AB' = AM.tg(AMB')
x = [(2,25-x²)/3].tg(AMB')  

tg(AMB') = 3x/(2,25-x²)

2.angle(NMB') = Pi - arctg(3x/(2,25-x²))

B'N = MB'.tg(NMB')

B'N = [2,25 - (x²/3)]*tg(Pi/2 - (1/2).arctg(3x/(2,25-x²)))

B'N = [2,25 - (x²/3)]* cotg((1/2).arctg(3x/(2,25-x²)))

B'N = [2,25 - (x²/3)] / [tg((1/2).arctg(3x/(2,25-x²)))]

Aire(MNB') = (1/2) * MB' * B'N

Aire(MNB') = (1/2) * [0,75 + (x²/3)]²/ [tg((1/2).arctg(3x/(2,25-x²)))]

Il y a probablement moyen de mettre cette expression sous une plus jolie forme pour rechercher son min, fais le qui veut.

Si on trace cette courbe, on trouve qu'elle est min pour x = 0,866...
-----
Sauf erreur, cela ne correspond pas au pliage préconisé par bornéo.

Ben oui... c'est pourquoi je n'ai pas continué... je ne vais pas me planter toutes les semaines
j'ai trouvé une expression franchement compliquée pour l'aire du triangle, ce qui m'a fait penser que ça n'allait pas. Merci J-P, je vais regarder ta réponse avec intérêt, car je déteste ne pas trouver...

ps ça aurait fait une chouette énigme... c'est bien plus dur quand on demande le raisonnement.

A Lolilou : coup de bol, un gentil correcteur passait par là. Ne tiens pas compte du dessin que j'ai fait pour ton premier topic, c'était pifométrique et pas juste.


A J-P j'ai trouvé hier une expression aussi compliquée que la tienne, mais ça me semblait trop dur de déterminer le mimimum par le calcul. Je n'ai pas mis de trigo, j'ai considéré des triangles semblables et j'ai trouvé NB' en fonction de x. Au bout du compte j'arrivais à une formule (pour l'aire du triangle) de type (x²+a)(x²+a)/bx

C'est pas humain de donner ça à des premières en début d'année... ou alors c'est parce que j'ai un cancre à la maison que je trouve ça trop dur ? Je trouve avec un tableur la même valeur de x qui rend l'aire du triangle mimimale. Merci d'avoir répondu.

J-P merci d'avoir trouvé, j'avoue je trouve sa très dur comme devoir et mon prof aussi, il nous a donc dit que A(MNB')= ......... était égale a
3x^4+4.5x²-5.0625=0 il nous a dit de continuer avec sa
donc quesque jdois faire??

Ce n'est probablement pas l'aire de MNB' qui est égale à 3x^4+4.5x²-5.0625=0

Mais comme par hasard, on a 3x^4+4.5x²-5.0625=0 pour x = 0,866... qui est la valeur de x pour laquelle l'aire est minimum comme trouvé dans ma réponse précédente.

Bonjour,
j'ai trouvé :
BM=(2.25+x²)/3
BN=(2.25+x²)/(2x)
Aire : (2.25+x²)^2/(12x)
Dérivée de l'aire : (2.25+x²)(3x²-2.25)/(12x²)
On a donc un minimum pour x = 0.75

Pouvez-vous me dire la fonction de l'aire en fonction de NMB'.

NMB et NMB' sont superposables (par pliage) ils ont la même aire :
(2.25+x²)^2/(12x)

La réponse de giordano est correcte.

D'ailleurs si on trace la courbe trouvée par giordano, soit f(x) = (2.25+x²)^2/(12x)

et celle de ma formule compliquée, soit: f(x) = (1/2) * [0,75 + (x²/3)]²/ [tg((1/2).arctg(3x/(2,25-x²)))]

Les 2 courbes sont identiques.
-----

Pouvez-vous me dire pourquoi 12x ?

Aire = base * hauteur / 2 = BM * BN / 2.

Comment on fait pour trouver BN=(2.25+x²)/(2x)

Les angles BNM et B'BA sont égaux et ont donc même tangente;
cela donne : BM/BN = AB'/AB
soit BN = AB * BM / AB' = 1.5(2.25 + x²)/(3*x) = (2.25+x²)/(2x).

Pourquoi les angles BNM et B'BA sont égaux?

Trace (BB') qui coupe (NM) en I.
BIN est rectangle en I car (MN) est la médiatrice de [BB'] (à cause du pliage).
Les angles BNI et NBI sont complémentaires (somme de 90°)
Les angles NBI et IBM sont aussi complémentaires.
Les angles BNI et IBM sont donc égaux (à 90° - angle(NBI)).
En passant :
les triangles BNI,IBM,NBM,ABB' sont semblables.

merci de ta précieuse aide

En repartant de ma formule :

Avec X = 3x/(2,25-x²)

[tg((1/2).arctg(X)] = sin(arctg(X))/(1+cos(arctg(X)))

[tg((1/2).arctg(X)] = [tg(arctg(X))/V(1+tg²(arctg(X))]/[1 + 1/(V(1+tg²(arctg(X)))]

[tg((1/2).arctg(X)] = X/(1+V(1+X²))

Avec X = 3x/(2,25-x²) -->

[tg((1/2).arctg(3x/(2,25-x²)))] = [ 3x/(2,25-x²)]/[1+V(1+(3x/(2,25-x²))²)]

[tg((1/2).arctg(3x/(2,25-x²)))] = 3x/[2,25-x² + V(2,25-x²)²+9x²]

[tg((1/2).arctg(3x/(2,25-x²)))] = 3x/[2,25-x² + V(2,25+x²)²)]

[tg((1/2).arctg(3x/(2,25-x²)))] = 3x/(2,25-x² + 2,25+x²)

[tg((1/2).arctg(3x/(2,25-x²)))] = 3x/4,5

[tg((1/2).arctg(3x/(2,25-x²)))] = 2x/3
-----
f(x) = (1/2) * [0,75 + (x²/3)]²/ [tg((1/2).arctg(3x/(2,25-x²)))]

f(x) = (1/2) * [0,75 + (x²/3)]²/[2x/3]

f(x) = (3/4) * [0,75 + (x²/3)]²/x

f(x) = (3/4) * [(2,25 + x²)/9)]/x

f(x) = (1/12)(2,25 + x²)/x

On retombe bien sur la formule de giordano.

Mais c'est un rien compliqué