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Plusieurs cordes à son graphe
Bonjour à tous 
Un curieux problème dont je pense avoir la réponse mais sans preuve :
On appelle corde d'une fonction continue de R dans R , tout segment joignant deux points de son graphe , parallèle à l'axe des abscisses et de longueur entière . Quel est le nombre minimum de cordes d'une telle fonction si l'une d'entre elles mesure 2025 ?
On s'amuse sans blankage intempestif
Imod
On peut translater très doucement sur le plateau un segment de longueur 1 et on récupère pas mal de cordes .
Imod
avec le graphique de candide2 peut-on dire que tout point A(x, 500) et B(x + 1, 500) avec x € [0, 2024] définit la corde [AB] de longueur 1 ?
Bonsoir,
je dirais qu'il y en a au moins 2025. Une pour chaque entier de 1 à 2025.
On peut prendre comme exemple la fonction valeur absolue sur [-1012,5 ; 1012,5] mais je ne sais pas si on peut la compléter de telle sorte qu'elle n'admette plus de corde.
Bonsoir Verdurin
Oui , avec deux branches qui partent dans des directions opposées on élimine pas mal de cordes mais je n'arrive pas à faire avec 2025 cordes . Il en faut sûrement un peu plus
Imod
PS : un message sûrement inutile pour beaucoup , il faut essayer en remplaçant 2025 par des entiers un peu moins envahissants .
Vu ma lenteur , les messages se croisent toujours
Il me semble que tu es un peu trop optimiste .
Imod
Bonjour,
il faut essayer en remplaçant 2025 par des entiers un peu moins envahissants .
Je n'osais pas en parler...
Je n'arrive pas à descendre en dessous de 4 cordes.
Je n'ai pas pensé à vérifier qu'une autre réponse matinale était arrivée pendant que je créais ma figure
Une autre illustration légèrement différente qui montre comment généraliser . Après pourquoi ne peut-on pas faire moins ????
Imod
Je croyais que le dessin précédent était suffisamment explicite . Je pense ( sans certitude ) que la réponse est 2n-1 pour une corde de longueur n mais je ne vois pas comment le montrer 
Imod
@Imod,
En fait, je n'ai pas compris à quoi sert la hauteur dans ta figure de 8h42, ni pourquoi la corde bleue de longueur 1 doit être à cet endroit.
Je voulais m'assurer que je n'étais pas "à côté de la plaque".
C'est vrai que mon dessin n'est pas très explicite . Dans le cas général on part d'un trapèze rectangle ABCD avec des angles droits en B et C , AB=n et CD=0,5 . On considère E le symétrique de D par rapport à C . Le graphe est constitué du segment [DB] et des demi-droites [DA) et [BE) . On trouve bien deux cordes pour chaque longueur de 1 à n-1 et une seule de longueur n .
Imod
@Sylvieg : oui et ça marche aussi pour 4 , 1 corde de longueur 4 , 2 de longueur 2 et 4 de longueur 1 . Vraiment étrange ce problème
@Carpediem : quelle est la question ?
Imod
Bonsoir carpediem.
Une fonction continue périodique a une infinité de cordes de longueur n quelque soit n.
Je croyais que le dessin précédent était suffisamment explicite . Je pense ( sans certitude ) que la réponse est 2n-1 pour une corde de longueur n mais je ne vois pas comment le montrer
Imod
Bonjour,
Déjà que montrer l'implication : si f(a2025)=f(a2025+2025) alors il existe a2024, ... , a1 tels que f(an) = f(an + n)
me semble pas simple ... (quelqu'un a une preuve ?)
J'ai tenté en définissant g(x,y)=f(x)-f(y). L'image réciproque de {0} est un sous-ensemble E (non-vide, fermé) de [a2025,a2025+2025]² car il contient les couples (x,x).
Puis on définit h de E dans R⁺ avec h(x,y)=|h(x)-h(y)| dont l'image de E est F, un sous-ensemble de R⁺, qui contient 0 (à cause des couples (x,x)) et 2025 (le couple (a2025,a2025+2025)). Donc si E est connexe, alors F l'est aussi, ce qui prouverait le résultat. Mais reste à montrer que E est connexe. Graphiquement ça me semble évident mais ...
Typo :
Puis on définit h de E dans R⁺ avec h(x,y)=|h(x)-h(y)|
Lire :
Puis on définit h de E dans R⁺ avec h(x,y)=|f(x)-f(y)|
J'avais eu une autre idée ce matin en regardant l'ensemble des cordes de longueurs réelles et il me semble qu'elles sont aussi contenues dans une bande de largeur finie mais je n'ai pas eu le temps d'y regarder de plus près jusqu'à présent .
Sans doute demain .
Imod
Bonsoir,
Déjà que montrer l'implication : si f(a2025)=f(a2025+2025) alors il existe a2024, ... , a1 tels que f(an) = f(an + n) me semble pas simple
Je la croyais vraie mais le croquis de Sylvieg
Plusieurs cordes à son graphe montre que c'est faux.J'explique mon idée . On part d'une fontion f ayant une corde de longueur L et réalisant le nombre minimum de cordes pour de telles fonctions . On appellera câble les « cordes » dont la longueur n'est pas forcément entière . La fonction f a une infinité de câbles mais leurs longueurs sont bornées sinon f aurait une infinité de cordes , ils sont tous dans une bande parallèle à l'axe des abscisses . Schématiquement l'allure de f est de ce genre :
Bien entendu dans la bande f peut osciller à l'infini mais ça ne change pas grand-chose au raisonnement suivant . A l'intérieur du triangle dont la base est le câble a il y a au moins E(a) cordes , de même pour la base b . Supposons par exemple que a<=b alors dans le trapèze de bases a et b il y a au moins E(b) - E(a) + 1 cordes . Soit le nombre minimum de cordes : C = E(a) + E(b) + E(b) - E(a) +1 - 2 = 2.E(b) - 1 cordes .
Il reste très certainement des choses à éclaircir .
Imod
Je ne prétendais pas traiter tous les cas mais il est toujours bon d'avoir des garde-fous . Disons qu'on regarde simplement le graphe à l'intérieur d'un trapèze et que les câbles apportent aussi des renseignements . Après il y a sans doute d'autres choses à voir . Déjà réduire la fonction à une ligne polygonale me semble une limitation intéressante ( nous l'avions instinctivement déjà fait ) .
Imod
Il y a peut-être moyen de faire le coup du trapèze plusieurs fois.
Deux sur ma figure, avec des côtés parallèles à (AB) issus des points E et F.
Oui , trapèzes et triangles en sachant qu'on cherche un minimum et qu'en translatant E et F à la verticale de A et B on ne change pas le résultat . Il manque certainement un argument .
Imod
Bonjour,
Je crois qu'on peut prouver que la fonction f doit "finir sa vie" en +oo plus haut (plus bas) que le max (le min) de f sur tout intervalle [a,b]. Et que côté -oo, elle doit faire de même mais du côté opposé.
Mathématiquement je traduirais par la propriété :
S'il existe a<b tels que (en notant m, M les min, max de f sur [a,b]) :
- pour tout x dans ]-oo,a[ on a : m
f(x)M
- ou que pour tout x dans ]b,+oo[ on a : mf(x)M
alors il existe une infinité de "câbles" (cf vocabulaire défini par Imod) avec des longueurs arbitrairement grandes.
Pour le prouver on peut considérer une suite (xn) décroissante de ]-oo, a[ qui tend vers -oo. f(xn) est à valeurs dans [m,M] par hypothèse.
Et il existe une suite x0n dans [a,b] telle que f(x0n) = f(xn) par continuité de f sur [a,b] et il est clair que x0n-xn tend vers +oo, càd qu'il existe une infinité de câbles de longueur arbitrairement grande ( même raisonnement pour ]b,+oo[). Ça a l'air de fonctionner.
On pourrait se demander si une telle fonction a aussi une infinité de cordes ... mais la preuve ne me semble pas si simple. Ceci dit dans tous les exemples que j'ai en tête, il y a aussi une infinité de cordes.
Bonsoir,
si on prend une fonction convexe ( respectivement concave ) soit elle admet une infinité de cordes soit elle en admet aucune. Une symétrie par rapport à l'axe des abscisses permet d'échanger les deux cas.
Prenons une fonction convexe.
— Elle peut être strictement monotone, dans ce cas elle n'a ni corde ni câble.
— Si elle est monotone sans être strictement monotone elle est constante sur un intervalle du type ]-
;a] si elle est croissante, du type [a ; +[ si elle est décroissante. Dans les deux cas on a évidement une infinité de cordes de longueur quelconque sur la partie constante.
— Si elle n'est pas monotone alors sa limite en 
est + et elle est strictement décroissante sur un intervalle ]-;a], strictement croissante sur un intervalle [b;+[ et constante sur l'intervalle [a;b] qui est éventuellement réduit à un point. Dans ce cas il est évident que l'image de la courbe par la translation de vecteur n fois le premier vecteur de la base coupe la courbe en au moins un point. On a donc au moins une corde de longueur n.
Quelques idées en vrac ( à vérifier ) qui pourront peut-être inspirer certains :
- La réunion de l'ensemble des câbles est un ensemble connexe constitué de « triangles » et de « trapèzes » les guillemets indiquent que si les bases horizontales sont rectilignes , ce n'est pas nécessairement les cas des autres côtés . Les guillemets sont sous-entendus pour la suite .
- Le nombre total de cordes de la fonction est égal à la somme du nombre de cordes dans chaque élément du pavage .
- Dans un triangle de base a le nombre de cordes est E(a) .
- Dans un trapèze de bases le nombre de cordes est E(b)-E(a)+1.
- La fonction est mise en avant dans l'énoncé mais c'est la taille de la grande corde qui commande , on peut donc éliminer de la recherche toute fonction qui ajoute inutilement des cordes .
Tout cela reste informel mais inutile de formaliser quand on ne sait pas où on va ?
On continue à s'amuser
Imod
Ça me titillais depuis un bon moment :
Une récurrence est-elle envisageable ?
Le cas n = 1 est faisable.
Mais la suite est plus problématique 
Je n'ai pas envoyé la bonne illustration à mon message précédent , le trait remontant à la droite de la figure devrait être plein , chacun corrigera .
Imod
Bonsoir,
il me semble qu'il suffirait de montrer que l'on peut toujours modifier une courbe avec des oscillations, comme celle de du précédent croquis d'Imod ou celle de Sylvieg pour la corde de longueur 3 pour obtenir une courbe en N ( cad croissante puis décroissante puis croissante ou décroissante puis croissante puis décroissante ) en diminuant, au sens large, le nombre de cordes.
Pour ceci l'idée d'Imod me semble une bonne piste.
Juste il ne faut pas oublier que des éléments du « pavage » se superposent.
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