Point dans un triangle

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Point dans un triangle
Posté par 
mathafou   01-12-23 à 10:15
Bonjour,

inspiré par  distance dans une triangle 

mais avec un triangle "quelconque" cette fois :

ABC est un triangle de côtés, AB = 36; BC = 25 et AC=29,

Si P est un point situé à l'intérieur de ce triangle avec

distance (P; (AB)) = 7; distance (P; (BC)) = 13.

Alors distance (P; (AC))= ??

(valeur exacte)

on blanque ou pas.
 Posté par 
GBZMre : Point dans un triangle  01-12-23 à 10:39
Bonjour,

 Posté par 
Pirhore : Point dans un triangle  01-12-23 à 10:43
Bonjour,

en calculant l'aire du triangle ABC de 2 façons: 

1) formule de Héron 

2) somme des aires de 3 triangles 

 Posté par 
mathafou re : Point dans un triangle  01-12-23 à 11:02
C'est ça.

("à la main" marche aussi)

le triangle n'est pas "quelconque" mais celui-ci a une aire entière

donc le résultat est forcément rationnel 

sans utiliser la formule de Heron pas forcément connue des élèves, on peut , mais c'est plus pénible, calculer une hauteur  via AlKachi et sin² + cos² = 1 (en valeurs exactes sans passer par les arc cos bien entendu)

elles sont ici rationnelles, voire entière !
 Posté par 
GBZMre : Point dans un triangle  01-12-23 à 11:10
On peut aussi se dire qu'il y a des triplets pythagoriciens dans l'air et repérer (20,21,29) et (15,20,25) avec 36 = 21+15. 
 Posté par 
mathafou re : Point dans un triangle  01-12-23 à 14:00
oui, c'est comme ça que je l'ai construit 
 Posté par 
dpire : Point dans un triangle  01-12-23 à 14:59
Bonjour,

j'ai utilisé les règles classiques ...

 Cliquez pour afficher
On obtient la hauteur (entière ) 20

puis le segment  parallèle en P à AB valeur exacte 23.4

puis la base du triangle recherché  valeur exacte 7.15

Ayant calculé l'angle A ,la distance recherchée est son sinus x 7.15=

4.931035
 Posté par 
flightre : Point dans un triangle  02-12-23 à 00:21
salut

j'ai placé ce triangle dans un repere centré en A , obtenu les coordonnées de chaque sommet et  l'équation de la droite passant par BC , comme D(P,(BC))=13  on obtient l'abscisse P , son ordonnée est facilement trouvable et vaut 7 , une fois fait on calcul sans mal la distance D(P,(AC)) et on trouve  143/29
 Posté par 
dpire : Point dans un triangle  02-12-23 à 07:37
Suite,

Bonjour,

Par la trigo j'ai trouvé une valeur qui au sens strict est (très) approchée.........

Par les aires on trouve en valeurs exactes :

*46.475 pour le triangle dont on cherche la hauteur

*29x13/20=18.85 (valeur exacte)  pour sa base

la valeur recherchée est donc 46.475/(18.85x2)

soit sans décimales 46475/9425.

Comme le PGCD de ces deux nombres est 325 , je retombe sur mes pieds   143/29 
  Posté par 
dpire : Point dans un triangle  02-12-23 à 16:17
lire bien sûr     /(18.85/2)