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polynôme
SVP j'ai besoin d'aide pour un exercice sur les polynômes!!je suis un cas desespéré!voici le sujet:
1.a. Déterminer un polynôme P du second degré tel que l'on ait, pour tout réel x:
P(x+1)-P(x)=x.
b. Ecrire l'égalité précédente pour x=1, x=2, ..., x=n.
c. En déduire S1=1+2+...+n.
2.a. Determiner un polynôme Q du troisième degré tel que l'on ait, pour tout réel x:
Q(x=1)-Q(x)=x².
b. En déduire S2=1²+2²+...+n².
Voilà,si quelqu'un pourrait m'aider ce serait génial!merci d'avance!
salut
1a P(x)=ax²+bx+c avec a b c reels.
rete a determiner a b et c.
P(x+1)-P(x)=x
or P(x+1)-P(x)=a(x+1)²+b(x+1)+c-[ax²+bx+c]=2ax+a+b
donc 2ax+a+b=x
=> a=1/2 et b=-1/2
reste a determiner c que l'on peut choisir comme on veut.
un polynome P verfiant la propriete de l'enonce :
P(x)=(1/2)x²-(1/2)*x=(1/2)*[x²-x]=(1/2)*x*(x-1)
b) pas trop complique.
c) on fait la somme des n egalites membre a membre :
dans un membre il a apparait 1+2..+n et dans l'autre P(n+1)-P(1)
donc 1+2+..+n=(1/2)*(n+1)*n - 0 = (n+1)*n/2
meme principe avec l'exo 2.
Un polynôme du second degré s'écrit ax²+bx+c
l'égalité se traduit donc par a(x+1)²+b(x+1)+c -ax²-bx-c=x
soit 2ax+a+b=x
ceci devant être vrai pour tout réel x, par identification on obtient
2a=1 et a+b=0
d'où a=1/2 et b=-1/2 , c étant quelconqque, on pourra prendre c=0
b pour x=1 l'égalité s'écrit P(1+1)-P(1)=1
pour x=2 l'égalité s'écrit P(2+1)-P(2)=2
pour x=3 l'égalité s'écrit P(3+1)-P(3)=3
pour x=n l'égalité s'écrit P(n+1)-P(n)=n
en ajoutant membre à membre et en simplifiant on obtient alors
P(n)-P(1)=1+2+3+...+n
soit (n+1)²/2-(n+1)/2-1/2+1/2=S1
d'où S1 = n(n+1)/2
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