P(x) = ax³+bx²+cx+d
P(x+1) = a(x+1)³+b(x+1)²+c(x+1)+d
P(x+1) = a(x³+3x²+3x+1)+b(x²+2x+1)+cx+c+d
P(x+1) = ax³+x²(3a+b)+x(3a+2b+c)+a+b+c+d

P(x+1)-P(x) = ax³+x²(3a+b)+x(3a+2b+c)+a+b+c+d - ax³-bx²-cx-d

P(x+1)-P(x) = x²(3a)+x(3a+2b)+a+b+c
A identifier avec P(x+1)-P(x) = x²
-> le système:

3a = 1
3a+2b = 0
a+b+c = 0

Et avec P(1) = 0 -> a+b+c+d = 0

-> a = 1/3 ; b = -1/2 ; c = 1/6  et d = 0

P(x) = (1/3)x³ - (1/2)x² + (1/6)x
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Vérifie les calculs.

salut.
P est de degre 3 donc il s'ecrit :

P(x)=ax^3+bx^2+cx+d avec a different de 0
P(x+1)=a(x+1)^3+b(x+1)^2+c(x+1)+d

en developpant :
P(x+1)=ax^3+(3a+b)x^2+(3a+2b+c)x+a+b+c+d
P(x+1)-P(x)=(2a+b)x^2+(3a+2b)x+a+b+c

on veut P(x+1)-P(x)=x^2
donc (2a+b)x^2+(3a+2b)x+a+b+c=x^2

en identifiant les coefficients on aboutit a un systeme
de 3 equations a 3 inconnues :

2a+b=1
3a+2b=0
a+b+c=0

b=-3 a=2 et c=1

donc P(x)=2x^3-3x^2+x+d

or P(1)=0
donc P(1)=2-3+1+d=0=d

donc P(x)=2x^3-3x^2+x=x*(2x^2-3x+1)=x*(x-1)*(2x-1)

je suppose qu'apres on te demande de demontrer que pour tout n dans N :
1+2^2+...+n^2=P(n)-P(1)
on utilise le fait que P(x+1)-P(x)=x^2
1=P(2)-P(1)
2^2=P(3)-P(2)
...
n^2=P(n)-P(n-1)

en faisant la somme de tous ca on a 1+...n^2=P(n)-P(1)
or P(1)=0
et P(n)=n*(n-1)*(2n-1)

donc 1+..+n^2=n*(n-1)*(2n-1)

voila.

et zut il y a une erreur voir post precedent pour correction.