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Polynômes
Bonjour, G besoin d´aide pour 1 exercice SVP
parce que je ne vois pas du tout ce q´il faut
faire:
Le but de cet exercice est de trouver tous les
polinômes P non nuls vérifiant:
Pour tt x de 
,
P(x²)= (x²+1)P(x) (E)
1.Montrer que si P est solution de (E) alors d°P= 2.
2.Dresser la liste des polinômes solution de (E).
Merci d´avance
Bonjour sorya,
Notons n le degré de P (euh on suppose qu'il n'est pas nul).
Notation : on note P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a2x2+a1x+ao
P(x²)=anx²n+an-1x²n-1+...+a2x²2+a1x+ao
le degré de P(x²) est donc 2n
(x²+1)P(x)=x²(anxn+an-1xn-1+...+a2x2+a1x+ao)
et donc le degré de (x²+1)P(x) est n+2
donc si un polynôme vérifie la relation E on a nécessairement 2n=n+2 soit ...
Pour la question 2 :
Bien maintenant que l'on sait qu'il est de degré 2 on peut l'écrire P(x)=ax²+bx+c
Ecris la relation E et on identifie les coefficients de chaque polynôme obtenu de chaque coté de l'égalité, on aboutit, sans doute à un système d'équation à 3 inconnues que l'on sait résoudre...
Salut 
bonsoir,
il faut que deg PoX²=deg (x²+1)P(x)
cad 2*deg P=deg (x²+1)+deg P
soit 2*deg P=2+degP
d'où 2*deg P-deg P=2
cad degP=2
salut !
1) si je me souviens bien deg(PoQ)= deg(P)*deg(Q) et deg(P*Q)= deg(P)+deg(Q) tu appliques la première règle (enfin si elle est juste hein vérifies !) à P et x² : deg(P(x²))= 2*deg(P)
et la deuxième à P et (x²+1) : deg((x²+1)P(x))= deg(P)+2
on obtient par l'égalité E que 2*deg(P)= deg(P)+2 cad deg(P)=2.
P est de degré 2, donc P(x)= ax²+bx+c avec a non nul
on remplace dans E :
ax^4+bx²+c= (x²+1)(ax²+bx+c)
ax^4+bx²+c= ax^4+bx^3+cx²+ax²+bx+c
bx²= bx^3+(c+a)x²
b= bx+(c+a)
on en déduit b= 0 car la valeur de b-(c+a) ne peut dépendre de x, et donc c+a=0, c= -a.
les polynômes solution sont du type P(x)= ax²-a= a(x²-1)
heu j'ai oublié la réciproque
soit P(x)= a(x²-1)
P(x²)= a(x^4-1)
(x²+1)P(x)= a(x²-1)(x²+1)
(x²+1)P(x)= a(x^4-1)
voilà ! 
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