Bonjour,

Calcul de P(-1) et de P(2): cette question est facile.

-1 et 2 racines de P => P(x) = (x+1)(x-2)Q(x)

Comme P de degré 4 => Q est de degrè 2

P(-1) = 1 - 9 - 4 + 12 = 0
P(2) = 16 - 36 + 8 + 12 = 0
J'espère que jusque là, tu as su faire

on a trouvé deux racines de P. P peut donc s'écrire :
P(x) = (x+1)(x-2)(ax²+bx+c)

Il ne reste qu'à déterminer les coefficients a, b, c.
Pour cela tu dois connaitre au moins une méthode, soit la méthode par
identification, soit la division polynomiale...

Là je vais faire par identification, mais peu importe.

P(x) = (x+1)(x-2)(ax²+bx+c)
P(x) = (x²-x-2)(ax²+bx+c)
P(x) = (ax^4+bx^3+cx²)-(ax^3+bx²+cx)-2(ax²+bx+c)
P(x) = ax^4+(b-a)x^3+(c-b-2a)x²+(-c-2b)x-2c

On identifie alors les coefficients fonctions de a,b,c avec les coefficients
déterminés par la première écriture de P.
On obtient un système de 5 équations pour 3 inconnues, plus qu'il
n'en faut pour en venir à bout...
a=1
b-a=0
c-b-2a=-9
-c-2b=4
-2c=12

Donc on trouve :
a=1
b=1
c=-6

On peut donc écrire :
P(x) = (x+1)(x-2)(x²+x-6)
peut être que la disvision polynomiale aurait été plus simple ici, je
ne sais pas si tu l'as vu ou non.

Pour résoudre dans l'équation: P(x)=0, c'est très
simple, on a déjà trouvé deux racines (-1 et 2) et grâce à la factorisation
précédente, il ne reste qu'à trouver les racines du polynôme
du second degré x²+x-6

=b²-4ac=25
>0 donc deux solutions dans :
x1=-b- / 2a
x1=(-1-5)/2
x1=-3
et
x2=-b+ / 2a
x2=(-1+5)/2
x2=2

On avait déjà trouvé que 2 était racine : c'est donc une racine
double du polynome.
On peut écrire :
P(x) = (x+1)(x-2)²(x+3)
Les solutions de P(x)=0 sont {-3;-1;2}.

Je te laisse faire l'inéquation...

Re-bonjour,

La suite ..

Q de degré 2 => Q(x) = ax^2 + bx + c

1ère solution : tu développes le membre de droite et tu dis que les coefficents
doivent  être identiques entre membres de gauche et membre de droite

2ième solution (légère variante de la première)

(x+1)(x-2)Q(x) = (x+1)(x-2)(ax^2 + bx + c)

Si tu imagines le développement de ce polynome, le coéfficent de x^4
est a . Comme celui de P(x) vaut 1 => a = 1

Le coéfficient de x^0 de P(x) = 12. Celui du membre de droite vaut 1*-2*c
(tu peux aussi l'obtenir en calculant pour x = 0)
=> c = -6

Il te reste à déterminer b: L'égalité doit être vrai sur R => en
particulier pour x = 1 par exemple

P(1) = (1+1)(1-2)(a + b + c) => b étant donné que a et c sont déjà trouvé.


Une fois la factorisation effectuée, les racines de P(x) seront évidentes
(notion de discriminants sur le trinome Q(x))

Pour l'inéquation:

P(x) = x^4 - 9x^2 +4x + 12 <= 12 +4x.

Tu sais que si a +c <= b + c <=> a <= b

=> l'inéquation devient x^4 - 9x^2 <= 0

x^4 - 9x^2 = x^2 ( x^2 -9)

Racines évidentes 3 et -3
  
                  = x^2 ( x -3)(x+3)

Sur [0, +oo[  x+3 >0 et x^2 > 0

Comme ab <= ac <=>  b <= c quand a appartient à R+*

Le signe de l'inéquation, revient à étudier celui de x - 3

x - 3 <= 0 <=> x <= 3

=> S = [0;3]

Sauf erreur de calcul

A+