Tu n'en es pas à une erreur d'énoncé près toi.

Il devrait s'agir de P(x-1)-P(x)=x et pas du tout ce que tu as écrit.

Dans ces conditions:

P(x) = ax² + bx  + cP(x-1) = a(x-1)² + b(x-1) + c
P(x-1) = ax² - 2ax + a + bx - b + c

P(x-1) - P(x) = ax² - 2ax + a + bx - b + c - (ax² + bx  + c)

P(x-1) - P(x) = - 2ax + a - b

A identifier avec:
P(x-1) - P(x) = x

-> le système:
-2a = 1
a-b = 0

Soit: a = b = -1/2 et quel que soit c -> pour facilité on choisis c = 0.

P(x) = -(1/2).(x² + x)
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P(x+1)-P(1)=x
x = P(x-1)-P(x)

1 = P(0) - P(1)
2 = P(1) - P(2)
3 = P(2) - P(3)
...
n = P(n-1) - P(n)

On fait la somme mebre à membre de toutes les égalités qui précèdent ->

1 + 2 + 3 + ... + n = P(0) - P(1) + P(1) - P(2) +  P(2) - P(3) + ... + P(n-1) - P(n)
presque tout se simplifie dans le membre de droite ->

1 + 2 + 3 + ... + n = P(0) - P(n)

Or P(0) = 0 ->
1 + 2 + 3 + ... + n = - P(n)
1 + 2 + 3 + ... + n = (1/2).(n² + n)
1 + 2 + 3 + ... + n = (1/2).n.(n + 1)
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Sauf distraction.  

et bien justement il n'y a pas d'erreur c'est bien P: ): )(1).
Mais votre réponse et rédaction me seront bien utile pour la suite. Il est vrai que j'attend la réponse de mon prof avec impatience pck je n'ai jamais autant calé pour un DM. Merci encore.

Si Vivityco, il y a une faute d'énoncé.
Démonstration:

P(x+1)-P(1)=x avec P(x) = ax²+bx+c par hypothèse.

P(x+1) = a(x+1)² + b(x+1) + c
P(x+1) = ax² + x(2a+b) + a + b + c
P(1) = a + b + c

P(x+1) - P(1) = ax² + x(2a+b)
A identifier avec: P(x+1)-P(1)=x

On a alors le système:
a = 0
2a + b = 1

Dont la seule solution est a = 0 et b = 1

On a alors P(x) = x + d
Mais P(x) n'est pas du second degré comme imposé dans l'énoncé et c'est foireux.
Donc l'énoncé ne peut être que faux.
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j'ai fait un raisonement proche du votre en premier lieu et j'ai fini par abandonée. C'est moi l'élève pas le prof. Mais vu votre justification il se peut que mon professeur ce soit effectivement tromper.J-P je vous remercie encore de m'avoir répondu. Votre rédaction va encore une fois bien m'être utile. Merci encore.