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Polynômes et suite
Soit n appartenant à N. On souhaite calculer la somme des n premiers entiers naturels et la somme de leur carré.
On note S1=1+2+3+...+(n-1)+n et S2=1²+2²+3²+...+(n-1)²+n².
1- Soit Q un polynôme de degré 3 tel que, pour tout réel x, Q(x)=ax³+bx²+cx+d, oú a,b,c et d sont des réels et a est différent de 0.
a) Determiner a,b,c et d pour que, pour tout x appartenant a R, Q(x+1)-Q(x)=x².
b) Demontrer que S2=Q(n+1)-Q(1) et en déduire que S2=(n(n+1)(2n+1))/6.
2- En s'inspirant des questions précédentes, trouver une formule pour la somme S3=1³+2³+3³+...+(n-1)³+n³.
Merci d'avance pour votre aide
pardon c'est juste... je l'avais fait un peu vite sur un coin de brouillon 
écris le en regroupant les degrés :
Q(x+1) - Q(x) = (...) x² + (...) x + (...)
Q(x+1)-Q(x)=a(x+1)³+b(x+1)²+c(x+1)+d-(ax³+bx²+cx+d)
=a(x³+3x²+3x+1)+b(x²+2x+1)+cx+c+d-(ax³+bx²+cx+d)
je suis désolé de t'avoir fait perdre du temps... ton résultat était juste 
écris le en regroupant les degrés :
Q(x+1) - Q(x) = (...) x² + (...) x + (...)
Q(x+1) - Q(x) = (3a)x²+(3a+2b)x+(a+b+c)
en math il faut écrire des relations entre les objets... pas des quantités volantes comme ça
bon, maintenant tu veux que ce soit tout le temps égal à x²
il faut donc que :
coefficient en x² = ...?
coefficient en x = ...?
coefficient constant = ...?
très bien
donc remplace par les coefficients que tu as obtenus pour Q(x+1)-Q(x) et résous le système
très bien
tu remarqueras que "d" n'intervient pas, tu peux donc prendre la valeur que tu veux pour d ... le plus simple est de prendre d=0
donc Q(x) = ...?
dispose les calculs comme ça et complète en utilisant le résultat de la première question avec le fait que x² = Q(x+1)-Q(x) :
1² = ...
2² = ...
3² = ...
4² = ...
....
(n-1)² = ...
n² = ...
oui, c'est correct (et (n-1)+1 = n )
1²=Q(1+1)-Q(1)
2²=Q(2+1)-Q(2)
3²=Q(3+1)-Q(3)
4²=Q(4+1)-Q(4)
...
(n-1)²=Q(n)-Q(n-1)
n²=Q(n+1)-Q(n)
si tu fais la somme de toutes ces égalités, tu remarqueras que, à gauche, tu trouves S2
et à droite, quand tu additionnes tout ça, que remarques-tu ?
oui, c'est correct (et (n-1)+1 = n )
1²=Q(2)-Q(1)
2²=Q(3)-Q(2)
3²=Q(4)-Q(3)
4²=Q(5)-Q(4)
...
(n-1)²=Q(n)-Q(n-1)
n²=Q(n+1)-Q(n)
si tu fais la somme de toutes ces égalités, tu remarqueras que, à gauche, tu trouves S2
et à droite, quand tu additionnes tout ça, que remarques-tu ?
ben à gauche quand tu additionnes tout ça, tu as la somme des carrés de 1² jusque n²... c'est bien S2 non ?
pas du tout
où vois-tu S1 là-dedans ?
Q(2)-Q(1)+Q(3)-Q(2)+Q(4)-Q(3)+Q(5)-Q(4) ... etc
tu ne remarques rien ?
non...
prenons la somme dans l'autre sens, de bas en haut :
S2 = Q(n+1)-Q(n) + Q(n)-Q(n-1) + Q(n-1)-Q(n-2) + ... + Q(5)-Q(4) + Q(4)-Q(3) + Q(3)-Q(2) + Q(2)-Q(1)
et voilà
c'est ce qu'on appelle une somme télescopique lorsque les termes se simplifient deux à deux, sauf le premier et le dernier
il te reste à calculer combien ça fait pour voir si ça correspond bien au résultat donné à la fin de la question
je vais devoir quitter... pour la (1b) je pense que c'est bon pour toi ?
pour la (2) je te donne juste une indication et tu devrais y arriver :
pour calculer la somme des cubes S3 tu reprends le même principe que pour S2 mais il faudra que tu cherches un polynôme Q de degré 4 cette fois.
donc sous la forme Q(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e
et tel que Q(x+1)-Q(x) = x3 cette fois.
bon courage
(tu pourras mettre tes réponses ici pour vérification)
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