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Niveau première
Polynomes+nombres premiers!
Posté par Malicia (invité)
Bonjour! j'ai a résoudre cet exercice pouvez vous m'aider?
On considère les deux polynomes P(x)=X^8+x^6+x^4+x^2+1 et Q(x)=x^8-x^6+x^4-x^2+1
Développer,réduire et ordonner suivant les puissances décroissantes de x le produite P(x)*Q(x)
Application: le nombre entier N= 10 001 000 100 010 001 est -il premier?
(^: puissances)
Merci beaucoup de m'aider!
P(x)*Q(x)=(x8+x6+x4+x²+1)(x8-x6+x4-x²+1)
=x8(x8-x6+x4-x²+1)+x6(x8-x6+x4-x²+1)+x4(x8-x6+x4-x²+1)+x2(x8-x6+x4-x²+1)+(x8-x6+x4-x²+1)
en développant chaque produit et en simplifiant, on obtient :
x16+x8+x8+x4+1
En prenant x=10, on obtient le nombre N.
Donc N=P(10)*Q(10)
en calculant P(10) et Q(10), on obtient une décomposition de N en deux nombres différents de 1 donc N n'est pas premier.
@+
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