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Polynômes/ second degré/ hyperbole
Bonjour à tous, j'ai besoin d'un sérieux coup de pouce pour commencer mon DM de math.
f est la fonction définie par f(x)=1/x et H est sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O;
;
). M est un point de H d'abscisse x et I est un point quelconque de coordonnées (
,
).
1. Démontrer que x[/sup]2IM[sup]2= x[/sup]4-2x[sup]3+([/sup]2+[sup]2)x[/sup]2-2x+1
2. On note p le polynôme de degré 4 défini par p(x)=x[sup]2IM[sub][/sub]2 lorsque x
0 et p(0)=1.
On se propse, dans cette question, de déterminer les points I particuliers, s'il en existe, pour lesquels p(x) est le carré d'un polynôme du deuxième degré de la forme x[/sup]2-x+h, où h est un réel quelconque.
Démontrez qu'il existe deux points I, et deux seulement, pour lesquels p(x)=(x[sup]2-x+h)[/sup]2.
Notez F et F' ces deux points
3. On pose FM=r et F'M=r'
Démontrer que valeur absolue de x FM= x[sup]2-
2x+1
Déduisez-en que si x est strictement positif, alors r=x+y-2.
Quelle est alors l'expression de r'?
Que deviennent les expressions de r et r' lorsque x est strictement négatif?
Déduisez de la question précédente que la valeur absolue de MF-MF' est indépendant de la position de M sur la courbe.
Merci d'avance. Je compte sur vous.
Salut à tous, c'est encore moi
J'ai vraiment besoin d'aide pour commencer ce DM même si vous ne répondez pas à toutes les questions mais au moins à une pour m'aider à avancer.
Je ne comprends vraiment pas.
merci d'avance.
Je prends a et b au lieu de alpha et beta trop pelants à écrire.
1)
M(X ; 1/X)
I(a ; b)
|IM|² = (X-a)² + ((1/X)-b)²
|IM|² = X² - 2aX + a² + (1/X)² - (2b/X) + b²
|IM|² = (x^4 - 2aX³ + a²X² + 1 - 2bX + b²X²)/X²
X².|IM|² = x^4 - 2aX³ + a²X² + 1 - 2bX + b²X²
X².|IM|² = x^4 - 2aX³ + (a²+b²).X² - 2bX + 1
-----
2)
P(x) = x^4 - 2ax³ + (a²+b²).x² - 2bx + 1 (1)
(x²-ax+h)² = x^4 + a²x² + h² - 2ax³ + 2hx² - 2ahx
(x²-ax+h)² = x^4 - 2ax³ + (a²+2h)x² - 2ahx + h² (2)
En identifiant les seconds membres de (1) et (2) -> on a le système:
2h = b² -> h est positif.
ah = b
h² = 1
-> h = 1
a = b
b² = 2
a = b = V2 (avec V pour racine carrée).
et
a = b = -V2
Soit les points de coordonnées F'(-V2 ; -V2) et F(V2 ; V2)
-----
3)
F'(-V2 ; -V2)
M(X ; 1/X)
|F'M|² = (X+V2)² + ((1/X)+V2)²
|F'M|² = (X²+2V2 X + 2) + ((1/X²) + (2V2)/X +2)
|F'M|² = (X^4+2V2 X³ + 2X² + 1 + 2XV2 +2X²)/X²
X².|F'M|² = X^4 + 2V2 X³ + 4X² + 2XV2 + 1
X².|F'M|² = (X² + V2 X + 1)²
X.|F'M| = X² + V2 X + 1
---
F(V2 ; V2)
M(X ; 1/X)
|FM|² = (X-V2)² + ((1/X)-V2)²
|FM|² = (X²-2V2 X + 2) + ((1/X²) - (2V2)/X +2)
|FM|² = (X^4-2V2 X³ + 2X² + 1 - 2XV2 +2X²)/X²
X².|FM|² = X^4-2V2 X³ + 2X² + 1 - 2XV2 +2X²
X².|FM|² = (X² - V2 X + 1)²
X.|FM| = X² - V2 X + 1
---
X.|FM| = X² - V2 X + 1
|FM| = (X² - V2 X + 1)/X
|FM| = X - V2 + (1/X)
Or 1/X est l'ordonnée (Y) de M ->
|FM| = X - V2 + Y
|FM| = X + Y - V2
r = X + Y - V2
---
X.|F'M| = X² + V2 X + 1
|F'M| = X + V2 + (1/X)
|F'M| = X + Y + V2
r' = X + Y + V2
-----
Si X < 0
X².|FM|² = (X² - V2 X + 1)²
X².|FM|² = (X² - V2 X + 1)²
-X.|FM| = (X² - V2 X + 1)
|FM| = -(X - V2 + (1/X))
|FM| = -(X - V2 + Y)
|FM| = -Y - X + V2
r = -Y - X + V2
X².|F'M|² = (X² + V2 X + 1)²
-X.|F'M| = (X² + V2 X + 1)
|F'M| = -(X + V2 + (1/X))
|F'M| = -(X + V2 + Y)
|F'M| = -Y - X - V2
r' = -Y - X - V2
-----
Si X > 0
r - r' = X + Y - V2 - (X + Y + V2)
r - r' = - V2 - V2 = -2V2
|r-r'| = 2V2
Si X < 0
r - r' = -Y - X + V2 - (-Y - X - V2)
r - r' = 2V2
|r-r'| = 2V2
-----
Sauf distraction. Vérifie. 
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