Bonjour

quand on parle de trois droites généralement c'est pour aboutir à la conclusion qu'elles sont parallèles (visiblement non !!) ou concourantes (se coupent en un même point)

la colinéarité ne servira pas à grand chose la dedans

mieux serait d'écrire des équations de ces droites dans un repère à choisir.

Bonjour

la figure n'est très exacte

montrez peut-être que les droites sont concourantes

écrivez les équations dans le repère

nota : ta figure est imprécise
ton point N n'est pas exactement tel que AN = 4/3 AD
en effet ton AD mesure 2 et AN mesure 3 : 3/2 n'est pas égal à 4/3 !
de même ton M est faux
AB = 2 (ouf, au moins c'est un carré !)
et AM = 3,5, et 3,5/2 n'est pas égal à 3/2

ce qu'on peut faire exactement avec Geogebra en utilisant l'outil "homothétie" plutôt que de mettre des points "au pif et à la louche"

Voilà pourquoi je suis bloqué :
L'équation cartésienne d'une droite est : y = ax+by+c et je sais qu'on peut connaître a et b si on connait un vecteur directeur de cette droite.  

Mais ici, justement, je ne sais pas comment trouver un vecteur directeur de ( AC ) tel que entre autres.  Après, lorsque je connais les équations des trois droites, je sais qu'il faut résoudre un système et vérifier l'existence du point en lequel les droites sont concourantes ( en admettant qu'elles le soient bien sûr )

Mais là effectivement je ne sais pas comment trouver un vecteur directeur de (AC)

non ce n'est pas y = ax+by+c

mais soit y = ax+b
soit ax+by+c = 0 (ou ax + by = c)

un mix des deux ça ne rime à rien

avant de calculer des vecteurs directeurs il serait bon d'écrire les coordonnées de tous les points de la figure !!

en choisissant le repère proposé par hekla (qui est assez naturel)
par définition A (0; 0) B (1; 0) et D(0; 1) (quelle que soit la taille "physique" du carré)
coordonnées de C ? de M ? etc
etc

Oui autant pour moi.

Alors C ( 1;1 )

De même, M ( xM;0)

A partir de là, on a ainsi =

L'équation cartésienne de (AC) est donc :  x-y+c=0

les coordonnées de M sont connues puisque

la droite (AC) passe par l'origine du repère  donc ?

Donc c=0

et M ( ;0)

Est-ce correct ?

oui

D'accord merci du temps que vous m'avez accordé je crois avoir compris le raisonnement à adopté.  Je me permettrais juste de faire vérifier ici l'exercice une fois terminé.

un schéma plus conforme

le schéma n'a pas grande importance parce que c'est vrai quels que soient ou presque les points M et N choisis sur (AB) et (AD) et même si ABCD n'est pas un carré mais un simple parallélogramme quelconque !!



l'énoncé simplifié avec un carré et des valeurs numériques 3/2 et 4/3 a juste été conçu pour ne pas trop perturber les élèves avec du calcul littéral (au lieu de 3/2 et 4/3) et des repères pas orthonormés...
mais les calculs sont exactement les mêmes.

dans le cas général les trois droites sont toujours concourantes sauf si le point Q, intersection de (NN' ) et (MM' ), est sur la diagonale (BD) du parallélogramme.
auquel cas les droites sont parallèles.

Bonjour, j'ai finalement trouvé un point de concours aux trois droites que j'ai appelé K. Voici ma démarche. ( J'aimerais savoir aussi si la rédaction est assez rigoureuse s'il vous plait ).

Démarche :

On se place dans le repère ( A;; ).
On considère les points : A(0;0) B(1;0) D(0;1) C(1;1).

- On cherche les coordonnées de M telles que = .

Ainsi : xM =
yM = 0

Donc M ( ;0 )

- On cherche une équation cartésienne de (AC) telle que ax+by+c = 0 dont est un vecteur directeur  

Or : =
Ainsi : Une équation cartésienne de (AC) est : x-y+c = 0

- On cherche c :
Comme A (0;0) (AC) ; alors ses coordonnées vérifient l'équation.
Ainsi : c = 0
Donc x-y = 0 est une équation cartésienne de (AC)

Maintenant, on cherche les coordonnées de N.
On pose alors : =

Donc N (0;)

- On cherche les coordonnées de M'
Comme la parallèle à (AD) passant par M coupe (DC) en M' ; alors xM' = xM = et yM' = yD = 1

Donc M' (;1)

- On cherche une équation de (M'N) telle que ax+by+c=0 dont est un vecteur directeur

Or :   = ( ; )
Ainsi : Une équation de (M'N) est x + y + c = 0

- On cherche c :
Comme N(0;) (M'N) ; alors ses coordonnées vérifient l'équation de (M'N)

Ainsi : c = -2
Donc une équation cartésienne de (M'N) est x + y -2 = 0

- On cherche les coordonnées de N'
Comme la parallèle à (AB) passant par N coupe (BC) en N', alors :
xN' = xB = 1
yN' = yN =

Donc N' (1;)

- On cherche une équation de (M'N) telle que ax+by+c = 0 dont est un vecteur directeur

Or :   = (;
Ainsi : x + y + c = 0 est une équation de (MN')

- On cherche c :
Comme M (;0) (MN'); alors ses coordonnées vérifient l'équation de (MN').

Ainsi : c= -2

Donc une équation cartésienne de (MN') est x + y - 2 = 0.

On a maintenant le système suivant :

{ x-y = 0 ( soit d1 )
{ x + y -2 = 0 ( soit d2 )
{  x + y - 2 = 0. ( soit d3 )

On résout ce système par substitution avec les deux première équations.

Après calcul, on trouve qu'il existe un point de concours K ( ; ) tel que d1 et d2 sont concourantes.

On vérifie ensuite que les coordonnées de K vérifient l'équation de d3.
C'est le cas.
On en déduit ainsi que K à d1,d2 et d3.
Donc ces trois droites sont concourantes en K.

Remarque : Je n'ai pas précisé les calculs pour la résolution du système mais si le résultat est correct, les calculs sont corrects également.
Pour la notation des vecteurs, j'ai oublié de les mettre en colonne plutôt qu'en ligne mais c'est bien des vecteurs.

si c'est votre façon de rédiger  pourquoi pas  mais

on ne cherche pas les coordonnées de M  e t N  c'est la traduction  des coordonnées d'un point dans un repère

c'est dire que
dans le repère

pourquoi ne pas dire que la droite (AC) est l'ensemble des points M tels que et soient colinéaires

de même pour les autres droites

deux droites sont sécantes  après on parle de point de concours ou les droites sont concourantes

D'accord en fait on rédige de cette façon dans notre cours c'est pour cela

mais oui je ferais plus attention à la rédaction

Donc cette réponse est juste ?

j'ai bien commencé par cela :  c'est votre façon de rédiger mais je ne l'aurais pas rédigé ainsi

D'accord en tout cas merci encore pour votre aide !

de rien