Inscription / Connexion Nouveau Sujet
premier et impair
bonsoir une question
montrer que si p est premier et impair alors il est de la forme 4m+1 ou 4m+3 m
peut-on affirmer que tout entier naturel de la forme 4m+1 ou 4m+3 est premier
Bonsoir,
pour la première question , je te conseille d'utiliser le fait que si ton entier ne s'écrit pas sous la forme 4m+1 ou 4m+3 alors, il n'est pas (premier et impair).
Pour la deuxième trouver un contre exemple....
Bonjour, arsenal23.
je commence par la deuxième question: 9 = 4x1+1 et 15 = 4x3+3, mais 9 et 15 ne sont pas premiers. on a donc là deux contre-exemples.
je passe à la première question: p est premier et impair, alors forcément p > 2.
donc, p = 3 ou alors p > 4.
si p = 3, alors p = 4m+3 avec m = 0.
si p > 4. on effectue la division euclidienne de p par 4. alors p = 4m + r avec o < r < 4.
pour r = 1, on a p = 4m +1 qui est acceptable;
pour r = 2, on a p = 4m + 2 qui n'est pas premier, donc ce p est à rejeter;
pour r = 3, on a p = 4m + 3 qui est acceptable.
Bonsoir et à bientôt.
résolution par l'absurd
Donc ici, ce que je te proposais, c'etait de dire que si on a un entier naturel n, il existe m entier naturel tel que n=4m ou n=4m+1 ou n=4m+2 ou n=4m+3.
On va donc s'interesser aux 4 cas :
n=4m donc n pair et donc n pas (impair et premier)
n=4m+1
n=4m+2 donc n pair et donc n pas (impair et premier)
n=4m+3
on a donc montre que si n n'est pas de la forme 4m+1 ou 4m+3 cela implique que n n'est pas (premier et impair).
non Q implique non P donc par equivalence P implique Q. On a donc bien montre que si n est premier et impair alors il est de la forme 4m+1 ou 4m+3 m appartenant a IN.
Ca peut paraitre assez tordu a priori mais en fait cela permet de faciliter de nombreuses demonstrations.
Annuler
connectez vous