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Niveau première
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premier et impair

Posté par
arsenal23
26-02-13 à 20:19

bonsoir une question
montrer que si p est premier et impair alors il est de la forme 4m+1 ou 4m+3 m
peut-on affirmer que tout entier naturel de la forme 4m+1 ou 4m+3 est premier

Posté par
sbarre
re : premier et impair 26-02-13 à 20:30

Bonsoir,
pour la première question , je te conseille d'utiliser le fait que si ton entier ne s'écrit pas sous la forme 4m+1 ou 4m+3  alors, il n'est pas (premier et impair).

Pour la deuxième trouver un contre exemple....

Posté par
arsenal23
re : premier et impair 26-02-13 à 20:46

résolution par l'absurd?? je ne sais pas comment commencer!!

Posté par
antomock7
re: premier et impair 26-02-13 à 21:08

Bonjour, arsenal23.

je commence par la deuxième question: 9 = 4x1+1  et 15 = 4x3+3, mais 9 et 15 ne sont pas premiers. on a donc là deux contre-exemples.
je passe à la première question: p est premier et impair, alors forcément p > 2.
donc, p = 3 ou alors p > 4.
si p = 3, alors p = 4m+3 avec m = 0.
si p > 4. on effectue la division euclidienne de p par 4. alors p = 4m + r avec o < r < 4.
pour r = 1, on a p = 4m +1  qui est acceptable;
pour r = 2, on a p = 4m + 2 qui n'est pas premier, donc ce p est à rejeter;
pour r = 3, on a p = 4m + 3 qui est acceptable.

Bonsoir et à bientôt.

Posté par
antomock7
re: premier et impair 26-02-13 à 21:13

lire plutôt 9 = 4x2+1. c'est tout.

Posté par
arsenal23
re : premier et impair 27-02-13 à 05:47

merci bien

Posté par
sbarre
re : premier et impair 27-02-13 à 09:42

Citation :
résolution par l'absurd
ce n'est pas un raisonnement par l'absurde en fait. Dans le monde de la logique P implique Q equivaut a nonQ implique nonP.

Donc ici, ce que je te proposais, c'etait de dire que si on a un entier naturel n, il existe m entier naturel tel que n=4m ou n=4m+1 ou  n=4m+2 ou  n=4m+3.
On va donc s'interesser aux 4 cas :
n=4m       donc n pair   et donc n pas (impair et premier)
n=4m+1    
n=4m+2     donc n pair   et donc n pas (impair et premier)
n=4m+3

on a donc montre que si n n'est pas de la forme 4m+1 ou 4m+3 cela implique que n n'est pas (premier et impair).

non Q implique non P donc par equivalence P implique Q. On a donc bien montre que  si n est premier et impair alors il est de la forme 4m+1 ou 4m+3 m appartenant a IN.

Ca peut paraitre assez tordu a priori mais en fait cela permet de faciliter de nombreuses demonstrations.



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